ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تبني هذه الأداة جدولاً — مع مخطط خطي — لإحدى أربع كميات مترابطة عبر مدى من قيم x: العاملي \(x!\)، أو لوغاريتمه الطبيعي \(\ln(x!)\)، أو العاملي المزدوج \(x!!\)، أو لوغاريتمه الطبيعي \(\ln(x!!)\). إنها رياضيات بحتة تنطبق بالطريقة نفسها في كل مكان؛ فلا تدخل فيها وحدات قياس ولا قواعد خاصة ببلد معيّن.
طريقة الاستخدام
اختر الدالة من القائمة المنسدلة، ثم أدخل بداية المدى (المدى من x) ونهايته (المدى إلى x)، إضافةً إلى مقدار الزيادة (الخطوة). تُولَّد الصفوف عند القيم x = البداية، البداية + الخطوة، البداية + 2·الخطوة، … وصولاً إلى الحد الأعلى مع تضمينه. يجب أن يكون مقدار الزيادة أكبر من صفر، ويُنتَج 101 صف كحدّ أقصى للإبقاء على الجداول قابلة للإدارة.
شرح الصيغة
العاملي هو حاصل الضرب 1·2·3·…·x، مع الاتفاق على أن \(0! = 1\). ولإتاحة القيم الكبيرة ورسم منحنى متصل، تُحسب الدالة بدلالة دالة غاما:
$$x! = \Gamma(x+1) = \prod_{k=1}^{x} k$$ويستخدم اللوغاريتم دالة لوغاريتم غاما
$$\ln(x!) = \ln\Gamma(x+1)$$كي لا تتجاوز الأعداد الضخمة حدود الحاسوب. أما العاملي المزدوج فيضرب كل حدٍّ ثانٍ فقط: مثلاً \(6!! = 6\cdot 4\cdot 2 = 48\)، بينما \(5!! = 5\cdot 3\cdot 1 = 15\). والحالات الأساسية هي \(0!! = 1\) و \(1!! = 1\) و \((-1)!! = 1\). أما الأعداد الصحيحة السالبة فتجعل العاملي غير معرّف (لأن غاما لها أقطاب عندها)، لذا تُسجَّل تلك الصفوف على أنها "غير معرّف".
مثال محلول
عند اختيار \(x!\) بمدى من 0 إلى 6 وخطوة 1، نحصل على سبعة صفوف: \(0! = 1\)، \(1! = 1\)، \(2! = 2\)، \(3! = 6\)، \(4! = 24\)، \(5! = 120\)، \(6! = 720\). وعند التبديل إلى \(\ln(x!)\) عند \(x = 6\) نحصل على \(\ln(720) \approx 6.5793\)، وعند \(\ln(x!!)\) عند \(x = 5\) نحصل على \(\ln(15) \approx 2.7081\).
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن يكون x كسراً؟ نعم. تستخدم القيم غير الصحيحة الصيغ المتصلة المبنية على دالة غاما، فيكون المنحنى أملس.
لماذا يظهر في أحد الصفوف "ما لا نهاية"؟ تنمو العواملي بسرعة هائلة (\(70! \approx 1.2\times 10^{100}\))؛ وعندما تتجاوز القيمة دقّة الأعداد المزدوجة (double precision) يُشار إليها بأنها ما لا نهاية — عندئذٍ استخدم صيغة اللوغاريتم \(\ln\) بدلاً منها لأنها تبقى منتهية.
لماذا هناك حدّ أقصى عند 101 صف؟ لمنع تضخّم الجداول بلا حدّ؛ فقلّص المدى أو زِد الخطوة لتلائم هذا الحد.
