이 계산기의 기능
이 도구는 지정한 x 구간에 대해 서로 연관된 네 가지 값 중 하나를 표와 꺾은선 그래프로 만들어 줍니다. 바로 팩토리얼 \(x!\), 그 자연로그 \(\ln(x!)\), 이중 팩토리얼 \(x!!\), 그리고 그 자연로그 \(\ln(x!!)\)입니다. 순수 수학이므로 단위나 국가별 규정과는 무관하게 전 세계 어디서나 똑같이 적용됩니다.
사용 방법
먼저 드롭다운에서 함수를 고른 뒤, 구간의 시작값(Range x from), 끝값(Range x to), 그리고 증분(Increment, 간격)을 입력하세요. x = 시작값, 시작값+증분, 시작값+2·증분, … 의 순서로 끝값(포함)까지 행이 생성됩니다. 증분은 0보다 커야 하며, 표가 지나치게 길어지지 않도록 최대 101개 행까지만 만들어집니다.
공식 풀이
팩토리얼은 1·2·3·…·x 의 곱이며, \(0! = 1\) 로 정의합니다. 큰 값을 다루고 연속적인 그래프를 그리기 위해 감마 함수로 계산하여 다음과 같이 평가하고,
$$x! = \Gamma(x+1) = \prod_{k=1}^{x} k$$로그는 로그-감마 함수를 사용해 다음과 같이 구하므로 엄청나게 큰 수에서도 오버플로가 발생하지 않습니다.
$$\ln(x!) = \ln\Gamma(x+1)$$이중 팩토리얼은 한 칸 건너 항을 곱합니다.
$$x!! = x\,(x-2)\,(x-4)\cdots$$예를 들어 \(6!! = 6\cdot 4\cdot 2 = 48\) 이고, \(5!! = 5\cdot 3\cdot 1 = 15\) 입니다. 기준값은 \(0!! = 1\), \(1!! = 1\), \((-1)!! = 1\) 입니다. 음의 정수에서는 팩토리얼이 정의되지 않으므로(감마 함수에 극이 존재) 해당 행은 "정의되지 않음"으로 표시됩니다.
계산 예시
\(x!\) 를 선택하고 구간을 0부터 6까지, 증분을 1로 설정하면 일곱 개 행이 나옵니다. \(0!=1\), \(1!=1\), \(2!=2\), \(3!=6\), \(4!=24\), \(5!=120\), \(6!=720\) 입니다. \(\ln(x!)\) 로 바꾸면 \(x=6\) 에서 \(\ln(720) \approx 6.5793\) 이고, \(\ln(x!!)\) 에서는 \(x=5\) 일 때 \(\ln(15) \approx 2.7081\) 입니다.
자주 묻는 질문
x가 분수여도 되나요? 네. 정수가 아닌 값은 감마 함수 기반의 연속 형태로 계산하므로 곡선이 매끄럽게 이어집니다.
행에 "무한대(infinity)"라고 나오는 이유는? 팩토리얼은 폭발적으로 커집니다(\(70! \approx 1.2\times 10^{100}\)). 값이 배정밀도(double) 범위를 넘어서면 무한대로 표시되니, 이때는 유한한 값을 유지하는 ln 버전을 사용하세요.
왜 101개 행으로 제한되나요? 표가 끝없이 길어지는 것을 막기 위해서입니다. 구간을 좁히거나 증분을 키워 행 수를 조절하세요.
