Что считает этот калькулятор
Инструмент строит таблицу — и линейный график — одной из четырёх связанных величин на диапазоне значений x: факториал x!, его натуральный логарифм ln(x!), двойной факториал x!! или его натуральный логарифм ln(x!!). Это чистая математика, которая работает одинаково в любой точке мира: здесь нет ни единиц измерения, ни привязки к правилам какой-либо страны.
Как пользоваться
Выберите функцию из выпадающего списка, затем укажите начало диапазона (Диапазон x (от)), его конец (Диапазон x (до)) и шаг (Шаг). Строки формируются для x = от, от+шаг, от+2·шаг, … вплоть до верхней границы включительно. Шаг должен быть больше нуля, а максимальное число строк ограничено 101 — так таблица остаётся обозримой.
Разбор формулы
Факториал — это произведение 1·2·3·…·x, причём \(0! = 1\). Чтобы работать с большими значениями и строить непрерывный график, он вычисляется через гамма-функцию: $$x! = \Gamma(x+1) = \prod_{k=1}^{x} k$$ а логарифм считается через лог-гамма-функцию $$\ln(x!) = \ln\Gamma(x+1)$$ — благодаря этому огромные числа не вызывают переполнения. Двойной факториал перемножает каждый второй член: \(6!! = 6\cdot 4\cdot 2 = 48\), а \(5!! = 5\cdot 3\cdot 1 = 15\). Базовые случаи: \(0!! = 1\), \(1!! = 1\) и \((-1)!! = 1\). Для отрицательных целых чисел факториал не определён (там у гамма-функции полюса), поэтому в таких строках выводится «не определено».
Пример расчёта
Если выбрать x! с диапазоном от 0 до 6 и шагом 1, получится семь строк: \(0!=1\), \(1!=1\), \(2!=2\), \(3!=6\), \(4!=24\), \(5!=120\), \(6!=720\). Переключившись на ln(x!) при x=6, получаем $$\ln(720) \approx 6{,}5793$$ а ln(x!!) при x=5 даёт $$\ln(15) \approx 2{,}7081$$
Частые вопросы
Может ли x быть дробным? Да. Для нецелых аргументов используются непрерывные формы на основе гамма-функции, поэтому кривая получается гладкой.
Почему в строке стоит «бесконечность»? Факториалы растут чрезвычайно быстро (\(70! \approx 1{,}2\times 10^{100}\)); когда значение превышает предел двойной точности, оно помечается как бесконечность — используйте вариант с ln, который остаётся конечным.
Зачем ограничение в 101 строку? Чтобы таблица не разрасталась бесконтрольно; сузьте диапазон или увеличьте шаг, чтобы уложиться в лимит.
