Что делает этот калькулятор
Этот инструмент строит таблицу значений и график логарифмической функции на заданном диапазоне x. Можно выбрать натуральный логарифм \(\ln(x)\) (по основанию e), десятичный логарифм \(\log(x)\) (по основанию 10) или логарифм по произвольному основанию a, который записывается как \(\log_a(x)\). Для каждого x, который меняется от начального значения до конечного с фиксированным шагом, калькулятор вычисляет \(y = f(x)\), выводит пары \((x, y)\) и строит полученную кривую.
Как пользоваться
Выберите функцию из выпадающего списка. Если вы выбрали \(\log_a(x)\), укажите основание a (оно должно быть больше 0 и не равно 1). Задайте «Диапазон x (от)» и «Диапазон x (до)», а также «Шаг» (приращение). Укажите, сколько значащих цифр показывать. Калькулятор перебирает весь диапазон, пропуская значения x, равные нулю или отрицательные, поскольку логарифм для них не определён. Чтобы калькулятор оставался быстрым, число строк в таблице ограничено 301.
Формула
Натуральный логарифм \(y = \ln(x)\) — это функция, обратная к \(e^x\). Десятичный логарифм равен $$y = \log_{10}(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)}$$ Для произвольного основания a по формуле перехода к новому основанию получаем $$\log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)}$$ Внутри Math.log соответствует натуральному логарифму, а Math.log10 — логарифму по основанию 10. Поскольку при \(a = 1\) получается \(\ln(a) = 0\), основание, в точности равное 1, не допускается во избежание деления на ноль.
Разбор примера
Выберем \(\log_a(x)\) с \(a = 2\), x от 1 до 8, шаг 1. По формуле перехода к новому основанию получаем: \(\log_2(1)=0\), \(\log_2(2)=1\), \(\log_2(3)=1.584963\), \(\log_2(4)=2\), \(\log_2(5)=2.321928\), \(\log_2(6)=2.584963\), \(\log_2(7)=2.807355\), \(\log_2(8)=3\). Все 8 строк определены (каждый x положителен), поэтому в таблице 8 строк и 8 точек на графике, причём первая точка — \((1, 0)\).
Частые вопросы
Почему при \(x = 0\) указано «не определено»? Логарифм нуля стремится к минус бесконечности, а логарифмы отрицательных чисел не являются действительными числами, поэтому такие строки помечаются как неопределённые и не отображаются на графике; ось y ведёт себя как вертикальная асимптота.
Может ли основание быть дробным? Да. Любое a при \(0 < a < 1\) (например, 0.5) допустимо и даёт убывающую кривую. Запрещены только \(a = 1\) и \(a \le 0\).
На что влияет число значащих цифр? Оно влияет только на то, сколько цифр показано в таблице; сами вычисления всегда выполняются с полной двойной точностью.
