ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تتيح لك هذه الأداة بناء جدول قيم ورسم بياني لدالة لوغاريتمية على امتداد مجال من قيم x. يمكنك اختيار اللوغاريتم الطبيعي \(\ln(x)\) (الأساس e)، أو اللوغاريتم العشري \(\log(x)\) (الأساس 10)، أو لوغاريتماً لأي أساس a يُكتب على الصورة \(\log_a(x)\). ولكل قيمة x تتدرج من قيمة البداية إلى قيمة النهاية بزيادة ثابتة، تحسب الأداة \(y = f(x)\)، وتسرد أزواج (x، y)، ثم ترسم المنحنى الناتج.
طريقة الاستخدام
اختر الدالة من القائمة المنسدلة. إذا اخترت \(\log_a(x)\)، فأدخل الأساس a (يجب أن يكون أكبر من 0 ولا يساوي 1). حدّد "مجال x (من)" و"مجال x (إلى)" بالإضافة إلى "مقدار الزيادة" (الخطوة). اختر عدد الأرقام المعنوية التي تريد عرضها. تمر الحاسبة على كامل المجال متجاوزةً أي قيمة x تساوي صفراً أو سالبة، لأن اللوغاريتم غير معرّف عندها. وللحفاظ على سرعة الاستجابة، يقتصر الجدول على 301 صفاً كحد أقصى.
الصيغة الرياضية
اللوغاريتم الطبيعي \(y = \ln(x)\) هو معكوس الدالة \(e^x\). أما اللوغاريتم العشري فهو
$$y = \log_{10}(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)}$$ولأي أساس اختياري a، تعطينا صيغة تغيير الأساس العلاقة
$$\log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)}, \quad a>0,\ a\neq 1$$داخلياً، تمثّل Math.log اللوغاريتم الطبيعي، وتمثّل Math.log10 اللوغاريتم للأساس 10. وبما أن \(\ln(a) = 0\) عندما \(a = 1\)، فإن الأساس المساوي تماماً للواحد مرفوض تجنباً للقسمة على صفر.
مثال محلول
اختر \(\log_a(x)\) مع \(a = 2\)، وx من 1 إلى 8، بخطوة 1. تعطي صيغة تغيير الأساس: \(\log_2(1)=0\)، \(\log_2(2)=1\)، \(\log_2(3)=1.584963\)، \(\log_2(4)=2\)، \(\log_2(5)=2.321928\)، \(\log_2(6)=2.584963\)، \(\log_2(7)=2.807355\)، \(\log_2(8)=3\). جميع الصفوف الثمانية معرّفة (كل قيم x موجبة)، لذا يحتوي الجدول على 8 صفوف و8 نقاط مرسومة، وتكون النقطة الأولى عند (1، 0).
الأسئلة الشائعة
لماذا تظهر x = 0 على أنها غير معرّفة؟ لوغاريتم الصفر يؤول إلى سالب ما لا نهاية، ولوغاريتمات الأعداد السالبة ليست أعداداً حقيقية، لذا توضع علامة "غير معرّف" على تلك الصفوف ولا تُرسم؛ ويتصرف المحور y عندها كخط تقارب رأسي.
هل يمكن أن يكون الأساس كسراً؟ نعم. أي قيمة a حيث \(0 < a < 1\) (مثل 0.5) صالحة وتنتج منحنى متناقصاً. ويُرفض فقط \(a = 1\) وكذلك \(a \le 0\).
ماذا يغيّر خيار "الأرقام المعنوية"؟ يؤثر فقط في عدد الأرقام المعروضة في الجدول؛ أما الحسابات الأساسية فتجري دائماً بدقة مزدوجة كاملة.
