ما الذي تقوم به هذه الأداة
تأخذ هذه الحاسبة أي دالة بمتغير واحد \(f(x)\)، وفترة مغلقة من \(a\) إلى \(b\)، وعدد التقسيمات \(n\). ثم تبني جدولاً يضم \(n+1\) نقطة متباعدة بانتظام مع قيم الدالة عند كل منها، وتُظهر سلوك المنحنى عبر الفترة بأكملها. وهي أداة مفيدة لرسم المنحنيات، وتحديد مواضع تغيّر الإشارة (الجذور)، وتجهيز البيانات للطرق العددية مثل قاعدة شبه المنحرف أو طريقة التنصيف.
طريقة الاستخدام
اكتب العبارة الرياضية بدلالة \(x\) باستخدام الرموز المعتادة: + − * / والرمز ^ للأسس، إضافة إلى الأقواس والدوال مثل sin وcos وtan وasin وacos وatan وsinh وcosh وtanh وexp وsqrt وabs وln وlog. تعطي الصيغة ذات الوسيطين log(base, x) لوغاريتماً لأي أساس، بينما تمثّل log(x) اللوغاريتم الطبيعي. كما يتم التعرّف على الثابتين pi وe. حدّد الحد الأدنى \(a\) والحد الأعلى \(b\)، ثم اختر قيمة \(n\) من القائمة المنسدلة. جميع وسائط الدوال المثلثية تُحسب بالراديان وليس بالدرجات.
شرح الصيغة الرياضية
تُحسب المسافة بين النقاط بالعلاقة \(h = (b - a) / n\). وتُعطى كل نقطة بالعلاقة \(x_i = a + i\,h\) حيث \(i\) تتراوح من \(0\) حتى \(n\)، مما يعطي بالضبط \(n + 1\) نقطة:
$$\begin{gathered} x_i = a + i\,h, \qquad y_i = f(x_i) \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} h &= \dfrac{b - a}{n} \\ i &= 0,\, 1,\, 2,\, \ldots,\, n \end{aligned} \right. \end{gathered}$$أي \(f(a)\) و\(f(a+h)\) و\(f(a+2h)\) و... وحتى \(f(b)\). ويتم الحصول على كل قيمة \(y_i\) بتقييم العبارة المُحلَّلة عند \(x = x_i\). أما النقاط التي تكون فيها الدالة غير معرّفة (كالقسمة على صفر، أو لوغاريتم عدد غير موجب، أو الجذر التربيعي لعدد سالب) فيتم وسمها بأنها غير معرّفة.
مثال محلول
لنأخذ الدالة \(f(x) = x - \cos(x)\) على الفترة \([0, \pi]\) مع \(n = 4\)، فتكون الخطوة \(h = \pi/4 = 0.785398\). وتكون القيم كالتالي: عند \(x=0\) نحصل على \(-1\)؛ وعند \(x=0.7854\) نحصل على \(0.0783\)؛ وعند \(x=1.5708\) نحصل على \(1.5708\)؛ وعند \(x=2.3562\) نحصل على \(3.0633\)؛ وعند \(x=3.1416\) نحصل على \(4.1416\). وهكذا يرتفع المنحنى تدريجياً من \(-1\) إلى نحو \(4.14\)، متقاطعاً مع الصفر بُعيد النقطة \(x = 0\) مباشرة.
الأسئلة الشائعة
هل تُحسب الزوايا بالدرجات؟ لا. فالدوال sin وcos وtan تستخدم الراديان. ولتحويل الدرجات إلى راديان اضربها في \(\pi/180\).
كم عدد النقاط الناتجة؟ دائماً \(n + 1\) نقطة، لأن طرفَي الفترة \(a\) و\(b\) مشمولان معاً.
ماذا لو كانت \(a\) أكبر من \(b\)؟ تصبح الخطوة \(h\) سالبة، ويسير الجدول من \(a\) نزولاً إلى \(b\)؛ ويبقى الحساب صحيحاً مع ذلك.
