ما هو متوسط معدل التغير؟
يقيس متوسط معدل التغير (ARC) مقدار التغير في ناتج الدالة، في المتوسط، مقابل كل زيادة بوحدة واحدة في المدخل عبر الفترة [a، b]. ومن الناحية الهندسية، فهو يمثل ميل القاطع الذي يصل بين النقطتين \((a, f(a))\) و\((b, f(b))\) على منحنى الدالة. ويُعد هذا المفهوم من أهم الأفكار الأساسية في الجبر والتفاضل والتكامل، إذ يربط بين فكرة الميل ومفهوم المشتقة.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل أربع قيم: قيمة الدالة عند النقطة الأولى \(f(a)\)، والمدخل الأول \(a\)، وقيمة الدالة عند النقطة الثانية \(f(b)\)، والمدخل الثاني \(b\). تقوم الحاسبة بطرح النواتج، ثم طرح المدخلات، ثم القسمة لتعطيك متوسط معدل التغير. ويُظهر لك الصفّان المساعدان البسط (التغير في f) والمقام (التغير في x) حتى تتمكن من متابعة خطوات الحل بوضوح.
شرح الصيغة
الصيغة هي $$ARC = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$ ويمثل البسط \(f(b) - f(a)\) إجمالي التغير في قيمة الدالة (وغالبًا ما يُرمز له بـ \(\Delta y\)). أما المقام \(b - a\) فهو إجمالي التغير في المدخل (\(\Delta x\)). وتمثل نسبتهما \(\Delta y/\Delta x\) الميل بين النقطتين. وإذا كانت \(b - a\) تساوي صفرًا، يصبح المعدل غير معرَّف، لأن القسمة على الصفر غير ممكنة.
مثال محلول
لنفترض أن \(f(x) = x^2\)، بحيث \(f(1) = 1\) و\(f(3) = 9\). هنا يكون \(a = 1\)، و\(b = 3\)، و\(f(a) = 1\)، و\(f(b) = 9\). إذًا: $$ARC = \frac{9 - 1}{3 - 1} = \frac{8}{2} = 4$$ وبذلك ترتفع الدالة على الفترة [1، 3] بمقدار 4 وحدات من f مقابل كل وحدة من x.
أمثلة عملية إضافية
يستخدم كل مثال صيغة معدل التغيير المتوسط \(A = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\). البسط هو التغيير في الإخراج (\(\Delta y\)); والمقام هو التغيير في الإدخال (\(\Delta x\)).
المثال 1 — دالة خطية (معدل تغيير متوسط ثابت)
لنفترض أن \(f(x) = 3x + 2\) على الفترة \([1, 5]\).
- \(f(a) = f(1) = 3(1) + 2 = 5\)
- \(f(b) = f(5) = 3(5) + 2 = 17\)
عوّض في الصيغة:
$$A = \frac{17 - 5}{5 - 1} = \frac{12}{4} = 3$$النتيجة هي 3. بالنسبة لأي دالة خطية، معدل التغيير المتوسط يساوي ميل الخط، لذا فإنه يكون متطابقًا على كل فترة — معدل تغيير ثابت.
المثال 2 — دالة متناقصة (معدل تغيير متوسط سالب)
لنفترض أن \(f(x) = -x^2 + 4\) على الفترة \([1, 3]\).
- \(f(a) = f(1) = -(1)^2 + 4 = 3\)
- \(f(b) = f(3) = -(3)^2 + 4 = -5\)
عوّض:
$$A = \frac{-5 - 3}{3 - 1} = \frac{-8}{2} = -4$$النتيجة هي -4. القيمة السالبة تعني أن الإخراج ينخفض في المتوسط عبر الفترة — الدالة متناقصة هناك.
المثال 3 — جذر تربيعي بإخراج غير صحيح، \(f(x)=\sqrt{x}\) على \([1,4]\)
- \(f(a) = \sqrt{1} = 1\)
- \(f(b) = \sqrt{4} = 2\)
عوّض:
$$A = \frac{2 - 1}{4 - 1} = \frac{1}{3} \approx 0.3333$$النتيجة هي \(\tfrac{1}{3} \approx\) 0.3333. القيمة الموجبة الصغيرة تظهر أن دالة الجذر التربيعي ترتفع ببطء على هذه الفترة.
تفسير النتيجة
معدل التغيير المتوسط يخبرك بمدى سرعة، واتجاه التغيير في إخراج الدالة لكل وحدة من الإدخال على فترة \([a,b]\).
- معدل تغيير متوسط موجب: الإخراج يزداد في المتوسط — الدالة ترتفع من \(a\) إلى \(b\). كلما كانت القيمة أكبر، كلما كان الارتفاع المتوسط أكثر انحدارًا.
- معدل تغيير متوسط سالب: الإخراج ينخفض في المتوسط — الدالة تنخفض على الفترة.
- معدل تغيير متوسط صفري: التغيير الصافي يساوي صفرًا؛ \(f(a) = f(b)\). الدالة تعود إلى نفس قيمة الإخراج حتى وإن ارتفعت وانخفضت بينهما.
الحجم = الانحدار. القيمة المطلقة \(|A|\) تقيس مدى انحدار تغيير الدالة في المتوسط؛ معدل تغيير متوسط قيمته 6 يصف ضعف الانحدار المتوسط لمعدل تغيير متوسط قيمته 3، وقيمة -4 أكثر انحدارًا من قيمة 2.
الوحدات. معدل التغيير المتوسط يحمل وحدات الإخراج مقسومة على وحدات الإدخال — "وحدات الإخراج لكل وحدة إدخال." على سبيل المثال، دولار في السنة، متر في الثانية، أو درجة في الدقيقة. اذكر دائمًا الوحدات في المسائل التطبيقية لكي يكون الرقم ذا معنى.
العلاقة بالميل والمعدلات المطبقة
هندسيًا، معدل التغيير المتوسط يساوي ميل الخط القاطع الذي يربط النقطتين \((a, f(a))\) و \((b, f(b))\) على الرسم البياني — بالضبط الارتفاع مقسومًا على المسافة الأفقية بين تلك النقاط.
في السياقات التطبيقية، الصيغة ذاتها لها أسماء مألوفة. عندما تكون \(f\) موضعًا كدالة للزمن، معدل التغيير المتوسط هو السرعة المتوسطة \(\Delta x / \Delta t\)؛ عندما تكون \(f\) السرعة على مدار الزمن، فهي التسارع المتوسط \(\Delta v / \Delta t\). عندما تنكمش الفترة نحو نقطة واحدة، يقترب معدل التغيير المتوسط من معدل التغيير الفوري — المشتقة.
التعريفات والمسرد
- معدل التغيير المتوسط (ARC)
- التغيير في إخراج الدالة مقسومًا على التغيير في إدخالها على فترة: \(A = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\). يصف التغيير الصافي لكل وحدة للدالة على \([a,b]\).
- الفترة \([a,b]\)
- نطاق الإدخال المغلق من نقطة النهاية السفلى \(a\) إلى نقطة النهاية العليا \(b\) التي يتم قياس معدل التغيير عليها، حيث \(a \neq b\).
- \(f(a)\) و \(f(b)\)
- قيم إخراج الدالة عند نقاط نهاية الفترة — الإخراج الأولي \(f(a)\) والإخراج النهائي \(f(b)\).
- \(\Delta y\) (التغيير في الإخراج)
- الفرق في قيم الإخراج، \(\Delta y = f(b) - f(a)\)؛ بسط معدل التغيير المتوسط، يُسمى أيضًا "الارتفاع."
- \(\Delta x\) (التغيير في الإدخال)
- الفرق في قيم الإدخال، \(\Delta x = b - a\)؛ مقام معدل التغيير المتوسط، يُسمى أيضًا "المسافة الأفقية."
- الخط القاطع
- خط مستقيم يمر عبر نقطتين على منحنى، هنا \((a, f(a))\) و \((b, f(b))\). معدل التغيير المتوسط يساوي ميل هذا الخط القاطع.
- الميل
- انحدار الخط، يُقاس على أنه ارتفاع مقسومًا على المسافة الأفقية، \(\Delta y / \Delta x\). معدل التغيير المتوسط هو ميل الخط القاطع بين النقطتين المختارتين.
- معدل التغيير الفوري (المشتقة)
- معدل التغيير عند نقطة واحدة، \(f'(x)\)، يتم الحصول عليه كحد من معدل التغيير المتوسط حيث يقترب طول الفترة من صفر. وهو يساوي ميل الخط المماس عند تلك النقطة.
الأسئلة الشائعة
هل متوسط معدل التغير هو نفسه الميل؟ نعم — ففي حالة الخط المستقيم يكون متوسط معدل التغير مساويًا تمامًا للميل الثابت. أما في حالة المنحنيات، فهو ميل القاطع على الفترة المختارة.
ما علاقته بالمشتقة؟ كلما تقلّصت الفترة [a، b] لتقترب من نقطة واحدة، اقترب متوسط معدل التغير من معدل التغير اللحظي، وهو المشتقة.
هل يمكن أن تكون النتيجة سالبة؟ نعم. تعني القيمة السالبة لمتوسط معدل التغير أن الدالة تتناقص عبر الفترة، بينما تدل القيمة الموجبة على أنها تتزايد.
