ما هي طريقة نيوتن؟
طريقة نيوتن (المعروفة أيضًا باسم نيوتن-رافسون) هي واحدة من أسرع الأساليب وأكثرها استخدامًا لإيجاد جذر عددي لمعادلة ما، أي القيمة x التي تحقق \(f(x) = 0\). تنطلق الطريقة من قيمة ابتدائية تقديرية، ثم ترسم مرارًا وتكرارًا المماس للمنحنى وتعتبر نقطة تقاطع هذا المماس مع المحور الأفقي تقديرًا جديدًا وأدق. وعندما تنجح، فإنها تتقارب تقاربًا تربيعيًا: إذ يتضاعف تقريبًا عدد الأرقام الصحيحة في كل خطوة.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل دالتك \(f(x)\) مستخدمًا x كمتغير. وبما أن هذه الأداة لا تشتق تلقائيًا، فعليك أيضًا إدخال المشتقة التحليلية \(f'(x)\) بنفسك. اختر القيمة الابتدائية \(x_0\) والحد الأقصى لعدد التكرارات. تُرجع الحاسبة الجذر التقريبي، وقيمة الدالة f عند هذا الجذر (والتي يجب أن تكون قريبة من الصفر للتأكد من التقارب)، وعدد التكرارات المستخدمة، وجدولًا يبيّن السجل خطوةً بخطوة. الصياغة المدعومة: + - * / ^ للأسس، والأقواس، والدوال sin وcos وtan وasin وacos وatan وexp وln وlog وsqrt وabs، إضافةً إلى الثابتين pi وe. وتعمل الدوال المثلثية بوحدة الراديان.
شرح الصيغة الرياضية
قاعدة التحديث هي $$x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f^{\prime}(x_{n})}$$ في كل تكرار تُحسب قيمة الدالة وميلها عند النقطة الحالية، ثم تُتخذ خطوة نحو نقطة تقاطع المماس مع المحور الأفقي. وإذا كانت المشتقة تساوي صفرًا في أي خطوة، فإن المماس يصبح أفقيًا وتفشل الطريقة مسجّلةً خطأ القسمة على صفر.
مثال محلول
لنأخذ \(f(x) = x - \cos(x)\) ومشتقتها \(f'(x) = 1 + \sin(x)\) والقيمة الابتدائية \(x_0 = 1\). تعطي الخطوة الأولى $$x_1 = 1 - \frac{1 - \cos 1}{1 + \sin 1} = 0.75034$$ وتعطي الخطوة الثانية \(0.73912\)، والخطوة الثالثة \(0.73909\)، وخلال بضع تكرارات تستقر القيمة عند \(x = 0.7390851332151607\)، وهو ما يُعرف بـ«عدد دوتي» (Dottie number) حيث يتحقق \(x = \cos x\). وعند هذه النقطة تكون \(f(x)\) معدومة عمليًا.
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب عليّ إدخال المشتقة؟ تُقيّم هذه الأداة التعبيرات الرياضية لكنها لا تجري اشتقاقًا رمزيًا، لذا عليك إدخال \(f'(x)\) يدويًا. إن إدخال مشتقة خاطئة سيؤدي إلى جذر غير صحيح أو إلى تباعد الطريقة.
لماذا لم تتقارب الطريقة؟ قد تتباعد طريقة نيوتن أو تتذبذب عند اختيار قيمة ابتدائية سيئة، أو قرب نقاط الانعطاف، أو عندما لا يوجد جذر حقيقي أصلًا. جرّب قيمة ابتدائية \(x_0\) مختلفة أو ارفع الحد الأقصى للتكرارات.
أي جذر سأحصل عليه عند وجود جذور متعددة؟ يعتمد الجذر الذي تجده على القيمة الابتدائية \(x_0\)؛ اختر قيمة قريبة من الجذر الذي تريده.
