Qu'est-ce que la méthode de Newton ?
La méthode de Newton (également appelée méthode de Newton-Raphson) est l'une des techniques les plus rapides et les plus utilisées pour trouver numériquement la racine d'une équation, c'est-à-dire une valeur x telle que \(f(x) = 0\). À partir d'une estimation initiale, elle trace de façon répétée la tangente à la courbe et utilise le point où cette tangente coupe l'axe des abscisses comme nouvelle estimation, plus précise. Lorsqu'elle fonctionne, sa convergence est quadratique : le nombre de décimales exactes double pratiquement à chaque étape.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez votre fonction \(f(x)\) en utilisant \(x\) comme variable. Comme cet outil ne calcule pas la dérivée automatiquement, vous devez aussi fournir vous-même la dérivée analytique \(f'(x)\). Choisissez une valeur de départ \(x_0\) ainsi qu'un nombre maximal d'itérations. Le calculateur renvoie la racine approchée, la valeur de \(f\) en ce point (qui doit être proche de zéro pour confirmer la convergence), le nombre d'itérations effectuées, et un tableau retraçant chaque étape. Syntaxe prise en charge : + - * / ^ pour les puissances, les parenthèses, les fonctions sin, cos, tan, asin, acos, atan, exp, ln, log, sqrt, abs, ainsi que les constantes pi et e. Les fonctions trigonométriques s'expriment en radians.
La formule expliquée
La relation de récurrence s'écrit $$x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.$$ Chaque itération évalue la fonction et sa pente au point courant, puis se déplace vers le point où la tangente coupe l'axe des x. Si la dérivée est nulle à une étape, la tangente est horizontale et la méthode échoue avec une erreur de division par zéro.
Exemple résolu
Prenons \(f(x) = x - \cos(x)\), de dérivée \(f'(x) = 1 + \sin(x)\), avec \(x_0 = 1\). L'étape 1 donne $$x_1 = 1 - \frac{1 - \cos 1}{1 + \sin 1} = 0{,}75034.$$ L'étape 2 donne \(0{,}73912\), l'étape 3 donne \(0{,}73909\), et en quelques itérations la suite se stabilise sur \(x = 0{,}7390851332151607\), le célèbre « nombre de Dottie » qui vérifie \(x = \cos x\). En ce point, \(f(x)\) est essentiellement nul.
FAQ
Pourquoi dois-je fournir la dérivée ? Cet outil évalue des expressions mais n'effectue pas de dérivation symbolique ; vous saisissez donc \(f'(x)\) manuellement. Une dérivée erronée donnera une racine fausse ou provoquera une divergence.
Pourquoi la méthode n'a-t-elle pas convergé ? La méthode de Newton peut diverger ou osciller en cas de mauvaise estimation initiale, près d'un point d'inflexion, ou lorsqu'aucune racine réelle n'existe. Essayez une autre valeur \(x_0\) ou augmentez le nombre maximal d'itérations.
Quelle racine vais-je obtenir s'il y en a plusieurs ? La racine trouvée dépend de l'estimation initiale \(x_0\) ; choisissez une valeur proche de la racine recherchée.
