뉴턴법이란?
뉴턴법(뉴턴-랩슨법이라고도 합니다)은 방정식의 수치적 근, 즉 \(f(x) = 0\)이 되는 \(x\) 값을 찾는 가장 빠르고 널리 쓰이는 방법 중 하나입니다. 초기 추정값에서 출발해 곡선에 접선을 그리고, 그 접선이 x축과 만나는 지점을 다음 단계의 더 정확한 추정값으로 삼는 과정을 반복합니다. 조건이 잘 맞으면 2차 수렴(quadratic convergence)을 보여, 단계마다 정확한 자릿수가 대략 두 배씩 늘어납니다.
계산기 사용법
변수로 \(x\)를 사용하여 함수 \(f(x)\)를 입력하세요. 이 계산기는 자동 미분을 지원하지 않으므로, 해석적으로 직접 구한 도함수 \(f'(x)\)도 함께 입력해야 합니다. 초기 추정값 \(x_0\)와 최대 반복 횟수를 정하면, 계산기는 근사 근, 그 근에서의 \(f\) 값(0에 가까울수록 수렴이 잘 된 것입니다), 사용된 반복 횟수, 그리고 단계별 과정을 보여주는 표를 돌려줍니다. 지원하는 문법: 거듭제곱은 + - * / ^, 괄호, 그리고 sin, cos, tan, asin, acos, atan, exp, ln, log, sqrt, abs 함수와 상수 pi, e입니다. 삼각함수는 라디안 단위를 사용합니다.
공식 풀이
갱신 규칙은 다음과 같습니다.
$$x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}$$매 반복마다 현재 지점에서 함수 값과 기울기를 계산하고, 접선이 x축과 만나는 지점 쪽으로 한 걸음 이동합니다. 어느 단계에서든 도함수가 0이면 접선이 수평이 되어, 0으로 나누는 오류가 발생하며 방법이 실패합니다.
풀이 예제
\(f(x) = x - \cos(x)\), 도함수 \(f'(x) = 1 + \sin(x)\), \(x_0 = 1\)을 살펴봅시다. 1단계에서 다음이 나옵니다.
$$x_1 = 1 - \frac{1 - \cos 1}{1 + \sin 1} = 0.75034$$2단계에서는 \(0.73912\), 3단계에서는 \(0.73909\)가 되며, 몇 번의 반복 안에 \(x = 0.7390851332151607\)로 안정화됩니다. 이는 \(x = \cos x\)를 만족하는 유명한 "도티 수(Dottie number)"입니다. 이 지점에서 \(f(x)\)는 사실상 0입니다.
자주 묻는 질문
왜 도함수를 직접 입력해야 하나요? 이 계산기는 수식을 계산할 수는 있지만 기호 미분(symbolic differentiation)은 하지 못합니다. 그래서 \(f'(x)\)를 직접 입력해야 합니다. 도함수가 틀리면 잘못된 근이 나오거나 발산할 수 있습니다.
왜 수렴하지 않나요? 뉴턴법은 초기 추정값이 좋지 않거나, 변곡점 근처이거나, 실근 자체가 존재하지 않을 때 발산하거나 진동할 수 있습니다. \(x_0\)를 바꾸거나 반복 횟수 한도를 늘려 보세요.
근이 여러 개일 때 어떤 근이 나오나요? 찾아지는 근은 초기 추정값 \(x_0\)에 따라 달라집니다. 원하는 근에 가까운 값을 골라 입력하세요.
