什麼是牛頓法？
牛頓法（又稱牛頓-拉弗森法）是數值求根中最快速、應用最廣的方法之一，目標是找出使 \(f(x) = 0\) 的 \(x\) 值。它從一個初始猜測值出發，反覆畫出曲線的切線，並以該切線與 x 軸的交點作為下一個更精準的估計值。當條件理想時，它具有二次收斂的特性：每迭代一次，正確位數大約會翻倍成長。
如何使用本計算機
請以 \(x\) 作為變數輸入您的函數 \(f(x)\)。由於本工具不會自動求導，因此您必須自行提供解析導數 \(f'(x)\)。接著設定初始猜測值 \(x_0\) 與最大迭代次數。計算機會回傳近似根、該根處的 \(f\) 值（理想情況下應接近零，以確認收斂）、實際使用的迭代次數，以及逐步的計算歷程表。支援語法：次方使用 + - * / ^、括號，以及函數 sin、cos、tan、asin、acos、atan、exp、ln、log、sqrt、abs，常數 pi 與 e。三角函數以弧度（radian）為單位。
公式解析
迭代公式為 $$x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f^{\prime}(x_{n})}$$ 每次迭代都會在目前的點計算函數值與斜率，並朝切線與 x 軸交點的方向前進。若在任一步驟中導數為零，代表切線為水平線，此時方法會因除以零而失敗並回報錯誤。
實際範例
以 \(f(x) = x - \cos(x)\) 為例，其導數為 \(f'(x) = 1 + \sin(x)\)，並取 \(x_0 = 1\)。第一步得 $$x_1 = 1 - \frac{1 - \cos 1}{1 + \sin 1} = 0.75034$$ 第二步得 \(0.73912\)；第三步得 \(0.73909\)；只需幾次迭代便會收斂至 \(x = 0.7390851332151607\)，也就是著名的「Dottie 數」，滿足 \(x = \cos x\)。此時 \(f(x)\) 基本上等於零。
常見問題
為什麼我需要自行提供導數？本工具只會計算數學式的值，並不會執行符號微分，因此需要您手動輸入 \(f'(x)\)。導數若輸入錯誤，將導致求得錯誤的根或無法收斂。
為什麼算不出來（無法收斂）？當初始猜測值不佳、接近反曲點，或根本不存在實數根時，牛頓法可能會發散或來回振盪。請嘗試換一個 \(x_0\)，或提高最大迭代次數。
當函數有多個根時，我會得到哪一個？求得的根取決於初始猜測值 \(x_0\)；請選擇一個接近您想要的根的猜測值。
