Newton Yöntemi Nedir?
Newton yöntemi (Newton-Raphson olarak da bilinir), bir denklemin sayısal kökünü, yani \(f(x) = 0\) olacak şekilde bir \(x\) değerini bulmak için kullanılan en hızlı ve en yaygın tekniklerden biridir. Bir başlangıç tahmininden yola çıkar; her adımda eğriye teğet doğru çizer ve bu teğetin x eksenini kestiği noktayı bir sonraki, daha iyi tahmin olarak kullanır. İşe yaradığında karesel hızda yakınsar: doğru basamak sayısı her adımda kabaca iki katına çıkar.
Bu Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır?
Fonksiyonunuz \(f(x)\)'i değişken olarak \(x\) kullanarak girin. Bu araç otomatik türev almadığından, analitik türev \(f^{\prime}(x)\)'i de kendiniz girmeniz gerekir. Bir başlangıç tahmini \(x_{0}\) ile en fazla iterasyon sayısını seçin. Hesaplayıcı; yaklaşık kökü, \(f\)'in bu köktekki değerini (yakınsamayı doğrulamak için sıfıra yakın olmalıdır), kaç iterasyon kullanıldığını ve adım adım bir geçmiş tablosunu döndürür. Desteklenen söz dizimi: kuvvet için + - * / ^, parantezler, sin, cos, tan, asin, acos, atan, exp, ln, log, sqrt, abs fonksiyonları ve pi ile e sabitleri. Trigonometrik fonksiyonlar radyan kullanır.
Formülün Açıklaması
Güncelleme kuralı şudur:
$$x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f^{\prime}(x_{n})}$$Her iterasyon, fonksiyonu ve eğimini mevcut noktada hesaplar ve teğet doğrunun x eksenini kestiği noktaya doğru bir adım atar. Türev herhangi bir adımda sıfır olursa teğet yatay olur ve yöntem sıfıra bölme hatasıyla başarısız olur.
Çözümlü Örnek
\(f(x) = x - \cos(x)\) fonksiyonunu, türevi \(f^{\prime}(x) = 1 + \sin(x)\) ve \(x_{0} = 1\) ile ele alalım. 1. adım
$$x_{1} = 1 - \frac{1 - \cos 1}{1 + \sin 1} = 0{,}75034$$verir. 2. adım \(0{,}73912\), 3. adım \(0{,}73909\) sonucunu verir ve birkaç iterasyon içinde \(x = 0{,}7390851332151607\) değerine oturur; bu, \(x = \cos x\) koşulunu sağlayan ünlü "Dottie sayısıdır". Bu noktada \(f(x)\) neredeyse sıfırdır.
Sıkça Sorulan Sorular
Türevi neden kendim girmem gerekiyor? Bu araç ifadeleri hesaplar ancak sembolik türev almaz; bu yüzden \(f^{\prime}(x)\)'i elle girersiniz. Yanlış bir türev, hatalı bir kök verir veya ıraksamaya yol açar.
Neden yakınsamadı? Newton yöntemi; kötü seçilmiş başlangıç tahminlerinde, dönüm noktalarına yakın bölgelerde ya da gerçek bir kök yokken ıraksayabilir veya salınabilir. Farklı bir \(x_{0}\) deneyin ya da iterasyon sınırını artırın.
Birden fazla kök varsa hangisini bulurum? Bulunan kök, başlangıç tahmini \(x_{0}\)'a bağlıdır; istediğiniz köke yakın bir tahmin seçin.
