Bu hesap makinesi ne işe yarar?
Bu araç, bir denklemin kökünü — yani \(f(x) = 0\) eşitliğini sağlayan \(x\) değerini — türev gerektirmeyen Newton yöntemiyle bulur; bu yönteme Steffensen iterasyonu da denir. Klasik Newton yöntemi, fonksiyonun analitik birinci türevi \(f'(x)\)'e ihtiyaç duyar; bu varyant ise türevi tamamen fonksiyon değerlerinden oluşturulan ileri fark yaklaşımıyla değiştirir. Böylece elinizle türev almanız hiç gerekmez. Tek değişkenli her reel fonksiyon için çalışan, tamamen matematiksel bir araçtır.
Nasıl kullanılır?
Fonksiyonunuzu f(x) kutusuna \(x\) değişkenini kullanarak girin. + - * / ^ işlemlerini, parantezleri, pi ve e sabitlerini ve şu yaygın fonksiyonları kullanabilirsiniz: sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, exp, ln, log, log10, sqrt, abs. Trigonometrik fonksiyonlar radyan cinsindendir. Başlangıç tahmini x0'ı belirleyin (sonuç bu değere bağlıdır), maksimum iterasyon sayısı n'i seçin; ardından yakınsanan kökü, kalan değer \(f(x)\)'i ve kaç iterasyonun gerektiğini görün.
Formülün açıklaması
Güncelleme kuralı şudur: $$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)^2}{f\!\left(x_n + f(x_n)\right) - f(x_n)}$$ Bu kural, standart Newton adımından — \(x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)\) — gelir; burada \(f'(x_n)\), adım boyu \(h = f(x_n)\) olan bir ileri farkla yaklaşık hesaplanır. Bu yaklaşımı yerine koyunca yukarıdaki formül elde edilir. Basit bir kökün yakınında, tıpkı gerçek Newton yöntemi gibi yaklaşık olarak kareli (kuadratik) yakınsar, ancak yalnızca fonksiyon değerlerini kullanır.
Çözümlü örnek
\(f(x) = x - \cos(x)\) fonksiyonu ve \(x_0 = 1\) için: 1. iterasyonda \(f(1) = 0.45970\), deneme değeri \(f(1.45970) = 1.34861\), payda \(0.88891\) olur; dolayısıyla $$x_1 = 1 - \frac{0.45970^2}{0.88891} = 0.76224$$ İterasyon hızla \(x \approx 0.7390851332\) değerine oturur; bu, \(x = \cos(x)\) eşitliğini sağlayan değerdir (Dottie sayısı) ve \(f(x) \approx 0\) olur.
Sık sorulan sorular
Neden bazen yakınsamayabilir? Kötü bir başlangıç tahmini ıraksamaya yol açabilir veya farklı bir köke kayabilir; ayrıca payda \(f(x+f(x)) - f(x)\) sıfır olursa yöntem güvenli biçimde durur. Başka bir x0 deneyin.
Açılar derece mi radyan mı? Radyan; bu, matematikteki standart kuraldır. Gerekirse x*pi/180 ile dönüştürebilirsiniz.
Türeve ihtiyacım var mı? Hayır — bu yöntemin bütün amacı zaten budur. Eğimi yalnızca fonksiyon değerlerinden tahmin eder.
