यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल किसी समीकरण का मूल (root) खोजता है — यानी x का वह मान जिस पर \(f(x) = 0\) होता है — और इसके लिए यह बिना डेरिवेटिव वाली न्यूटन विधि का उपयोग करता है, जिसे स्टेफेन्सन पुनरावृत्ति (Steffensen's iteration) भी कहते हैं। पारंपरिक न्यूटन विधि में पहले अवकलज (first derivative) \(f'(x)\) की ज़रूरत होती है; लेकिन यह संस्करण डेरिवेटिव की जगह सिर्फ़ फलन के मानों से बनी फॉरवर्ड-डिफरेंस अनुमान का इस्तेमाल करता है, इसलिए आपको हाथ से अवकलन करने की कोई ज़रूरत नहीं पड़ती। यह एक शुद्ध गणितीय टूल है जो किसी भी एकल-चर (single-variable) वास्तविक फलन के लिए काम करता है।
इसका उपयोग कैसे करें
अपने फलन को f(x) बॉक्स में चर x का उपयोग करते हुए दर्ज करें। आप + - * / ^, कोष्ठक (parentheses), अचर pi और e, तथा सामान्य फलन उपयोग कर सकते हैं: sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, exp, ln, log, log10, sqrt, abs। त्रिकोणमितीय फलन रेडियन में काम करते हैं। शुरुआती अनुमान x0 सेट करें (परिणाम इसी पर निर्भर करता है), अधिकतम पुनरावृत्तियों की संख्या n चुनें, और अभिसरित (converged) मूल, अवशेष (residual) f(x), तथा कितनी पुनरावृत्तियाँ लगीं — यह सब पढ़ें।
सूत्र की व्याख्या
अद्यतन नियम (update rule) यह है: $$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)^2}{f\!\left(x_n + f(x_n)\right) - f(x_n)}$$ यह मानक न्यूटन चरण \(x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)\) से आता है, जहाँ \(f'(x_n)\) को \(h = f(x_n)\) स्टेप साइज़ वाली फॉरवर्ड डिफरेंस से अनुमानित किया जाता है। इस अनुमान को रखने पर ऊपर वाला सूत्र मिलता है। किसी सरल मूल (simple root) के पास यह लगभग वर्गाकार (quadratically) गति से अभिसरित होता है — असली न्यूटन विधि की तरह — परंतु केवल फलन के मानों का उपयोग करता है।
हल किया हुआ उदाहरण
\(f(x) = x - \cos(x)\) और \(x_0 = 1\) के लिए: पुनरावृत्ति 1 में \(f(1) = 0.45970\), प्रोब \(f(1.45970) = 1.34861\), हर (denominator) \(0.88891\), अतः $$x_1 = 1 - \frac{0.45970^2}{0.88891} = 0.76224$$ पुनरावृत्ति जल्दी ही \(x \approx 0.7390851332\) पर स्थिर हो जाती है — यही वह मान है जहाँ \(x = \cos(x)\) होता है (डॉटी संख्या / Dottie number), और \(f(x) \approx 0\) रहता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यह अभिसरित (converge) क्यों नहीं हो पाता? खराब शुरुआती अनुमान से यह विसरित (diverge) हो सकता है या किसी दूसरे मूल पर पहुँच सकता है, और यदि हर \(f(x+f(x)) - f(x)\) शून्य हो जाए तो विधि सुरक्षित रूप से रुक जाती है। ऐसे में कोई दूसरा x0 आज़माएँ।
कोण डिग्री में होते हैं या रेडियन में? रेडियन में — यही गणित की मानक परिपाटी है। ज़रूरत पड़ने पर x*pi/180 से रूपांतरण करें।
क्या मुझे डेरिवेटिव की ज़रूरत है? नहीं — यही तो इस विधि की खास बात है। यह ढलान (slope) का अनुमान केवल फलन के मानों से ही लगा लेती है।
