Công cụ này làm gì
Công cụ này tìm nghiệm của một phương trình — tức là giá trị x sao cho \(f(x) = 0\) — bằng phương pháp Newton không cần đạo hàm, còn gọi là phép lặp Steffensen. Phương pháp Newton cổ điển đòi hỏi đạo hàm bậc nhất \(f'(x)\) ở dạng giải tích; biến thể này thay đạo hàm bằng một ước lượng sai phân tiến chỉ dựng từ các giá trị của hàm số, nên bạn không bao giờ phải tính đạo hàm bằng tay. Đây là một công cụ toán học thuần túy, dùng được cho mọi hàm số thực một biến.
Cách sử dụng
Nhập hàm số của bạn vào ô f(x) với biến là x. Bạn có thể dùng các phép + - * / ^, dấu ngoặc, hằng số pi và e, cùng các hàm thông dụng: sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, exp, ln, log, log10, sqrt, abs. Các hàm lượng giác tính theo radian. Đặt x0 là giá trị khởi đầu (kết quả phụ thuộc vào giá trị này), chọn số lần lặp tối đa n, rồi đọc nghiệm hội tụ, sai số dư f(x) và số lần lặp đã dùng.
Giải thích công thức
Công thức cập nhật là $$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)^2}{f\!\left(x_n + f(x_n)\right) - f(x_n)}$$ Nó xuất phát từ bước Newton chuẩn \(x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)\), trong đó \(f'(x_n)\) được xấp xỉ bằng sai phân tiến với bước nhảy \(h = f(x_n)\). Thay ước lượng này vào ta được công thức trên. Gần một nghiệm đơn, phương pháp hội tụ với tốc độ gần như bậc hai, giống Newton thật, nhưng chỉ cần dùng giá trị của hàm số.
Ví dụ minh họa
Với \(f(x) = x - \cos(x)\) và \(x_0 = 1\): lần lặp thứ nhất cho \(f(1) = 0{,}45970\), điểm thăm dò \(f(1{,}45970) = 1{,}34861\), mẫu số \(0{,}88891\), nên $$x_1 = 1 - \frac{0{,}45970^2}{0{,}88891} = 0{,}76224$$ Phép lặp nhanh chóng ổn định tại \(x \approx 0{,}7390851332\), chính là giá trị mà \(x = \cos(x)\) (số Dottie), với \(f(x) \approx 0\).
Câu hỏi thường gặp
Vì sao đôi khi phương pháp không hội tụ? Một giá trị khởi đầu kém có thể khiến phép lặp phân kỳ hoặc nhảy sang một nghiệm khác, và nếu mẫu số \(f(x+f(x)) - f(x)\) bằng 0 thì phương pháp sẽ dừng lại một cách an toàn. Hãy thử một x0 khác.
Góc tính theo độ hay radian? Theo radian, đúng quy ước toán học chuẩn. Nếu cần, hãy chuyển đổi bằng x*pi/180.
Tôi có cần đạo hàm không? Không — đó chính là điểm mạnh của phương pháp này. Nó ước lượng độ dốc chỉ từ các giá trị của hàm số.
