Qué hace esta calculadora
Esta herramienta encuentra una raíz de una ecuación — un valor de x para el que \(f(x) = 0\) — mediante el método de Newton sin derivadas, conocido también como iteración de Steffensen. El método de Newton clásico necesita la primera derivada analítica \(f'(x)\); esta variante sustituye la derivada por una estimación con diferencias hacia delante calculada únicamente a partir de evaluaciones de la función, de modo que nunca tienes que derivar a mano. Es una herramienta puramente matemática que funciona con cualquier función real de una sola variable.
Cómo usarla
Escribe tu función en el campo f(x) usando la variable x. Puedes emplear + - * / ^, paréntesis, las constantes pi y e, y las funciones más habituales: sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, exp, ln, log, log10, sqrt, abs. Las funciones trigonométricas trabajan en radianes. Define x0, el valor inicial (el resultado depende de él), elige el número máximo de iteraciones n y consulta la raíz a la que converge, el residuo \(f(x)\) y cuántas iteraciones hicieron falta.
La fórmula explicada
La regla de actualización es $$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)^2}{f\!\left(x_n + f(x_n)\right) - f(x_n)}$$ Procede del paso estándar de Newton \(x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)\), donde \(f'(x_n)\) se aproxima mediante una diferencia hacia delante con paso \(h = f(x_n)\). Al sustituir esa estimación se obtiene la fórmula anterior. Cerca de una raíz simple converge de forma aproximadamente cuadrática, como el Newton auténtico, pero utilizando solo valores de la función.
Ejemplo resuelto
Para \(f(x) = x - \cos(x)\) con \(x0 = 1\): la iteración 1 da \(f(1) = 0{,}45970\), la sonda \(f(1{,}45970) = 1{,}34861\), el denominador \(0{,}88891\), así que $$x1 = 1 - \frac{0{,}45970^2}{0{,}88891} = 0{,}76224$$ La iteración se estabiliza rápidamente en \(x \approx 0{,}7390851332\), el valor para el que \(x = \cos(x)\) (el número de Dottie), con \(f(x) \approx 0\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué a veces no converge? Un valor inicial poco acertado puede divergir o llevar a una raíz distinta, y si el denominador \(f(x+f(x)) - f(x)\) se anula, el método se detiene de forma segura. Prueba con otro x0.
¿Los ángulos van en grados o en radianes? En radianes, la convención matemática habitual. Si lo necesitas, conviértelos con x*pi/180.
¿Necesito la derivada? No — precisamente esa es la ventaja de este método. Estima la pendiente solo a partir de los valores de la función.
