ماذا تفعل هذه الحاسبة
تساعدك هذه الأداة على إيجاد جذر معادلة ما — أي قيمة \(x\) التي تجعل \(f(x) = 0\) — باستخدام طريقة نيوتن الخالية من المشتقة، والمعروفة أيضًا باسم تكرار ستيفنسن. طريقة نيوتن الكلاسيكية تحتاج إلى المشتقة الأولى التحليلية \(f'(x)\)، أما هذه الصيغة فتستبدل المشتقة بتقدير عبر الفرق الأمامي يُبنى بالكامل من قيم الدالة نفسها، فلا تضطر أبدًا إلى اشتقاق الدالة يدويًا. إنها أداة رياضية صرفة تعمل مع أي دالة حقيقية ذات متغير واحد.
طريقة الاستخدام
أدخل دالتك في خانة f(x) مستخدمًا المتغير \(x\). يمكنك استعمال الرموز + - * / ^ والأقواس، والثابتين pi وe، إضافةً إلى الدوال الشائعة: sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, exp, ln, log, log10, sqrt, abs. تتعامل الدوال المثلثية مع الراديان. حدّد قيمة x0، وهي نقطة البداية (وتعتمد النتيجة عليها)، ثم اختر العدد الأقصى للتكرارات n، واطّلع بعدها على الجذر المتقارِب، وقيمة المتبقّي \(f(x)\)، وعدد التكرارات اللازمة.
شرح الصيغة
قاعدة التحديث هي $$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)^2}{f\!\left(x_n + f(x_n)\right) - f(x_n)}$$ وهي مشتقّة من خطوة نيوتن المعتادة \(x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)\)، حيث تُقرَّب \(f'(x_n)\) بفرق أمامي مقدار خطوته \(h = f(x_n)\). وبالتعويض بهذا التقدير نحصل على الصيغة أعلاه. وبالقرب من جذر بسيط يتقارب هذا التكرار تقاربًا تربيعيًا تقريبًا، تمامًا كطريقة نيوتن الأصلية، لكنه لا يستخدم سوى قيم الدالة.
مثال محلول
لنأخذ \(f(x) = x - \cos(x)\) مع \(x_0 = 1\): في التكرار الأول نحصل على \(f(1) = 0.45970\)، ونقطة الاستكشاف \(f(1.45970) = 1.34861\)، والمقام \(0.88891\)، ومن ثَمّ $$x_1 = 1 - \frac{0.45970^2}{0.88891} = 0.76224$$ يستقر التكرار بسرعة عند \(x \approx 0.7390851332\)، وهي القيمة التي يتحقق عندها \(x = \cos(x)\) (المعروفة بعدد دوتي)، حيث \(f(x) \approx 0\).
الأسئلة الشائعة
لماذا قد لا تتقارب الطريقة؟ قد تؤدي نقطة بداية سيئة إلى التباعد أو الوصول إلى جذر مختلف، وإذا أصبح المقام \(f(x+f(x)) - f(x)\) مساويًا للصفر تتوقف الطريقة بأمان. جرّب قيمة x0 أخرى.
هل الزوايا بالدرجات أم بالراديان؟ بالراديان، وهو العُرف الرياضي القياسي. وللتحويل استخدم x*pi/180 عند الحاجة.
هل أحتاج إلى المشتقة؟ لا — وهذا هو جوهر هذه الطريقة. فهي تقدّر الميل من قيم الدالة وحدها.
