ما هي طريقة هالي؟
طريقة هالي أسلوب عددي تكراري يُستخدم لحل المعادلات من الصورة \(f(x) = 0\). وهي نسخة من الرتبة الثالثة (ذات تقارب تكعيبي) قريبة من طريقة نيوتن-رافسون: فبينما تعتمد طريقة نيوتن على الدالة ومشتقتها الأولى فقط، تضيف طريقة هالي المشتقة الثانية أيضًا، ما يمكّنها عادةً من بلوغ دقة معينة بعددٍ أقل من التكرارات. وهذه أداة رياضية عامة في التحليل العددي تصلح للاستخدام في أي مكان؛ علمًا بأن الزوايا داخل الدوال المثلثية تُحسب بوحدة الراديان.
كيفية الاستخدام
أدخل الدالة التي تريد إيجاد جذرها بوصفها \(f(x)\)، ثم أدخل مشتقتها الأولى \(f'(x)\) ومشتقتها الثانية \(f''(x)\) كعبارات بدلالة \(x\). تشمل الصيغ المدعومة العمليات \(+\)، \(-\)، \(*\)، \(/\) و\(\hat{\ }\) للأسس، والأقواس، ودوال مثل sin وcos وtan وasin وacos وatan وsinh وcosh وtanh وexp وlog/ln وlog10 وsqrt وabs، إضافةً إلى الثابتين pi وe. اختر قيمة ابتدائية \(x_0\) قريبة من الجذر المطلوب، وحدّد أقصى عدد للتكرارات \(n\)، ثم اختر عدد الأرقام المعنوية المراد عرضها.
شرح الصيغة
تحسب كل خطوة القيمة $$x_{n+1} = x_n - \frac{2\,f(x_n)\,f^{\prime}(x_n)}{2\,[f^{\prime}(x_n)]^2 - f(x_n)\,f^{\prime\prime}(x_n)}$$ يمثّل البسط تصحيح نيوتن المعتاد (بعد تحجيمه)، بينما يضيف المقام الحدّ \(- f(x_n) f''(x_n)\) ليصحّح أثر انحناء الدالة \(f\)، فيُسرّع التقارب. تتوقف الحلقة التكرارية عندما يهبط التغير في \(x\) أو الباقي \(f(x)\) دون عتبة صغيرة جدًا، أو عند بلوغ الحد الأقصى للتكرارات. وإذا أصبح المقام مساويًا للصفر، تنهار الطريقة وعليك حينها تجربة قيمة ابتدائية \(x_0\) مختلفة.
مثال محلول
لِنأخذ \(f(x) = x - \cos(x)\)، و\(f'(x) = 1 + \sin(x)\)، و\(f''(x) = \cos(x)\)، بدءًا من \(x_0 = 1\): تعطي الخطوة الأولى $$x_1 = 1 - \frac{2 \times 0.4596977 \times 1.8414710}{2 \times 1.8414710^2 - 0.4596977 \times 0.5403023} = 1 - \frac{1.6930504}{6.5336550} = 0.7408769$$ وسرعان ما تستقر التكرارات عند عدد دوتي \(x = 0.7390851332151607\)، وهو الحل الوحيد للمعادلة \(x = \cos(x)\).
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين طريقة هالي وطريقة نيوتن؟ تتجاهل طريقة نيوتن انحناء الدالة، أما طريقة هالي فتضيف حدّ المشتقة الثانية، فتحقق تقاربًا تكعيبيًا بدلًا من التربيعي، وغالبًا ما تحتاج تكرارات أقل لكل رقم صحيح.
لماذا يجب أن أدخل المشتقات؟ تعتمد هذه الحاسبة على المشتقات التي تزوّدها بها. فإذا كانت خاطئة، سيكون التقارب ضعيفًا أو يفشل. لذا احسب \(f'(x)\) و\(f''(x)\) باشتقاق \(f(x)\) بعناية.
ماذا لو لم تتقارب الطريقة؟ تجد الطريقة الجذر الأقرب إلى \(x_0\). وقد تؤدي نقطة بداية سيئة إلى التباعد أو الوصول إلى جذر آخر، كما أن تلاشي المقام يوقفها تمامًا. عندئذٍ غيّر قيمة \(x_0\) أو راجع عبارات المشتقات.
