Qu'est-ce que la méthode de Halley ?
La méthode de Halley est une technique numérique itérative qui sert à résoudre une équation de la forme \(f(x) = 0\). C'est une cousine du troisième ordre (à convergence cubique) de la méthode de Newton-Raphson : là où Newton n'utilise que la fonction et sa dérivée première, Halley fait aussi intervenir la dérivée seconde, ce qui permet généralement d'atteindre une précision donnée en moins d'itérations. Il s'agit d'un outil universel d'analyse numérique, valable partout ; les angles à l'intérieur des fonctions trigonométriques sont interprétés en radians.
Comment l'utiliser
Saisissez dans \(f(x)\) la fonction dont vous cherchez la racine, puis indiquez sa dérivée première \(f'(x)\) et sa dérivée seconde \(f''(x)\) sous forme d'expressions en \(x\). La syntaxe acceptée comprend +, -, *, /, ^ pour les puissances, les parenthèses, ainsi que des fonctions comme sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, exp, log/ln, log10, sqrt et abs, sans oublier les constantes pi et e. Choisissez une estimation initiale \(x_0\) proche de la racine recherchée, fixez un nombre maximal d'itérations \(n\) et sélectionnez le nombre de chiffres significatifs à afficher.
La formule expliquée
À chaque étape, on calcule $$x_{n+1} = x_n - \frac{2\,f(x_n)\,f'(x_n)}{2\,[f'(x_n)]^2 - f(x_n)\,f''(x_n)}.$$ Le numérateur correspond à la correction habituelle de Newton (mise à l'échelle), tandis que le terme supplémentaire \(-\,f(x_n)\,f''(x_n)\) au dénominateur tient compte de la courbure de \(f\) et accélère ainsi la convergence. La boucle s'arrête lorsque la variation de \(x\) ou le résidu \(f(x)\) passe sous une tolérance minime, ou lorsque la limite d'itérations est atteinte. Si le dénominateur s'annule, la méthode échoue et il faut essayer une autre valeur de \(x_0\).
Exemple résolu
Pour \(f(x) = x - \cos(x)\), \(f'(x) = 1 + \sin(x)\), \(f''(x) = \cos(x)\), en partant de \(x_0 = 1\) : la première étape donne $$x_1 = 1 - \frac{2 \cdot 0{,}4596977 \cdot 1{,}8414710}{2 \cdot 1{,}8414710^2 - 0{,}4596977 \cdot 0{,}5403023} = 1 - \frac{1{,}6930504}{6{,}5336550} = 0{,}7408769.$$ L'itération converge rapidement vers le nombre de Dottie \(x = 0{,}7390851332151607\), l'unique solution de \(x = \cos(x)\).
FAQ
En quoi la méthode de Halley diffère-t-elle de celle de Newton ? La méthode de Newton ignore la courbure ; celle de Halley ajoute le terme de dérivée seconde, ce qui donne une convergence cubique au lieu de quadratique, et donc généralement moins d'itérations pour chaque chiffre exact gagné.
Pourquoi dois-je saisir les dérivées ? Ce calculateur fait confiance aux dérivées que vous fournissez. Si elles sont fausses, la convergence sera médiocre, voire impossible. Calculez \(f'(x)\) et \(f''(x)\) en dérivant \(f(x)\) avec soin.
Que faire si ça ne converge pas ? La méthode trouve la racine la plus proche de \(x_0\). Un mauvais point de départ peut diverger ou aboutir à une autre racine, et un dénominateur qui s'annule bloque complètement le calcul. Changez \(x_0\) ou vérifiez l'expression de vos dérivées.
