Qu'est-ce que le problème de plantation d'arbres (uekizan) ?
Le problème de plantation d'arbres, appelé « uekizan » dans l'arithmétique élémentaire japonaise, consiste à disposer des objets à intervalles réguliers le long d'une distance et à en déduire l'espacement qui les sépare. Sa subtilité bien connue tient à l'écart d'une unité entre le nombre d'objets et le nombre d'intervalles qui les séparent. Cet outil prend en charge le calcul universel commun à toutes les variantes de ce casse-tête.
Mode d'emploi
Saisissez la distance totale entre les deux extrémités (par exemple, deux bâtiments), le nombre d'arbres que vous souhaitez planter, puis le type de disposition. Le calculateur vous indique le nombre d'intervalles (espaces) ainsi que l'espacement, en mètres, entre deux arbres voisins.
La formule expliquée
L'espacement correspond simplement à la longueur totale divisée par le nombre d'intervalles. C'est ce nombre d'intervalles qui varie selon la disposition : des arbres aux deux extrémités donnent \(N - 1\) espaces ; un seul bout planté ou une boucle fermée donnent \(N\) espaces ; aucune extrémité plantée donne \(N + 1\) espaces. Se tromper de convention est l'erreur classique.
$$\text{Espacement} = \frac{\text{Distance totale}}{\text{Arbres} - 1}$$
Exemple concret
Supposons que la distance entre le bâtiment A et le bâtiment B soit de 100 m et que vous plantiez 11 arbres, un à chaque extrémité. Comme les deux bouts sont plantés, le nombre d'espaces est de \(11 - 1 = 10\). L'espacement vaut donc $$\frac{100}{10} = 10 \text{ m}.$$ L'erreur fréquente consiste à diviser 100 par 11, ce qui donne à tort environ \(9{,}09\) m.
FAQ
Pourquoi soustraire un avec des arbres aux deux bouts ? Un arbre occupe chaque extrémité : entre \(N\) arbres, il n'y a donc que \(N - 1\) espaces.
Et pour un bassin circulaire ? Sur une boucle fermée, le dernier arbre rejoint le premier : le nombre d'espaces est alors égal au nombre d'arbres, soit \(\text{espacement} = \text{périmètre} / N\).
Puis-je saisir une fraction d'arbre ? Non. Le nombre d'arbres est arrondi à un nombre entier, car on ne peut pas planter un arbre à moitié.
