Calculateur de quadrature Tanh-Sinh sur un intervalle fini [a, b]

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f(x)

Borne inférieure a

Borne supérieure b

Nombre de subdivisions n

Résultats

Valeur de l'intégrale

0,7468241328

valeur approchée de l'intégrale définie sur [a, b]

Méthode	Tanh-Sinh (double exponentielle)
Subdivisions n	100
Évaluations de la fonction utilisées	201

Qu'est-ce que la quadrature Tanh-Sinh ?

La quadrature Tanh-Sinh, aussi appelée règle de la double exponentielle (DE), est une méthode d'intégration numérique particulièrement performante pour évaluer les intégrales définies sur un intervalle fini [a, b], surtout lorsque l'intégrande présente des singularités aux bornes. Elle repose sur le changement de variable \(u = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(t)\right)\), qui envoie les bornes vers \(t = \pm\infty\). Au voisinage de ces bornes, la contribution de l'intégrande décroît de façon doublement exponentielle : on peut ainsi intégrer avec précision même des fonctions qui divergent en \(a\) ou en \(b\) (comme \(1/\sqrt{1-x^2}\)). Cet outil relève des mathématiques universelles et s'applique partout.

Le changement de variable doublement exponentiel envoie la droite réelle sur (-1, 1), en regroupant les nœuds vers les extrémités.

Comment l'utiliser

Saisissez votre fonction \(f(x)\) avec la notation usuelle (opérateurs + - * / ^, parenthèses et fonctions telles que sin, cos, exp, log, sqrt, abs, ainsi que les constantes pi et e). Indiquez la borne inférieure \(a\), la borne supérieure \(b\) et le nombre de subdivisions \(n\), qui contrôle la densité des nœuds. Un \(n\) plus grand améliore la précision au prix d'un calcul plus lourd ; une plage typique en pratique se situe entre 50 et 400. L'intégrande doit être analytique sur l'intervalle ouvert (les singularités aux bornes ne posent pas de problème) et ne doit pas être périodique.

La formule expliquée

L'intervalle est d'abord ramené à [-1, 1] grâce à \(x = \frac{b-a}{2}u + \frac{a+b}{2}\) et \(dx = \frac{b-a}{2}\,du\). La règle DE utilise ensuite les nœuds \(t_k = k\,h\), les abscisses \(u_k = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(t_k)\right)\) et les poids \(w_k = \dfrac{\tfrac{\pi}{2}\cosh(t_k)}{\cosh^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(t_k)\right)}\).

$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\, h \sum_{k=-N}^{N} w_k\, f\!\left(\frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}\,x_k\right)$$

L'intégrale est alors approchée par \(\frac{b-a}{2} \cdot h \cdot\) somme des \(w_k \cdot f(x(u_k))\). Les nœuds dont le poids tombe à zéro par dépassement de capacité (les bornes saturées) sont ignorés, ce qui évite toute évaluation aux frontières potentiellement singulières.

Les nœuds se concentrent près des extrémités a et b, ce qui permet de traiter précisément les singularités aux bornes.

Exemple résolu

Intégrons \(f(x) = \exp(-x^2)\) sur [0, 1]. La valeur exacte est \(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot\operatorname{erf}(1) \approx 0{,}7468241\). Avec un pas grossier (\(h = 0{,}5\), \(N = 4\)), la règle renvoie déjà environ \(0{,}7467\) ; avec la valeur par défaut \(n = 100\), elle coïncide jusqu'à une douzaine de décimales.

FAQ

Puis-je intégrer des fonctions présentant des singularités aux bornes ? Oui : c'est précisément le point fort de la méthode. Les singularités intégrables en \(a\) ou en \(b\) sont gérées sans difficulté.

Pourquoi la périodicité importe-t-elle ? La règle de la double exponentielle est optimisée pour les intégrandes non périodiques ; pour les fonctions périodiques, la règle des trapèzes converge plus vite et la méthode DE peut s'avérer imprécise.

Que se passe-t-il si \(a\) est égal à \(b\) ? L'intégrale vaut zéro. Si \(a > b\), le résultat est correctement affecté du signe négatif, car le facteur \(\frac{b-a}{2}\) en porte le signe.