Qu'est-ce que la notation par intervalles ?
La notation par intervalles est une façon concise d'écrire l'ensemble de tous les nombres réels compris entre deux bornes. Le crochet [ ] indique que la borne est incluse (intervalle fermé), tandis que la parenthèse ( ) signifie qu'elle est exclue (intervalle ouvert). L'infini (\(\infty\)) et moins l'infini (\(-\infty\)) prennent toujours une parenthèse, car ce ne sont pas des nombres réels et ne peuvent jamais être atteints.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez une borne inférieure et précisez si elle est ouverte (>, exclue) ou fermée (\(\ge\), incluse). Faites de même pour la borne supérieure. Pour représenter un côté non borné, laissez le champ correspondant vide : le calculateur utilisera automatiquement \(-\infty\) ou \(+\infty\). Vous obtenez aussitôt l'intervalle, l'inégalité équivalente et la notation en compréhension (set-builder).
Les règles de conversion
Le type de borne détermine le symbole employé : borne inférieure fermée → [ et \(\ge\) ; borne inférieure ouverte → ( et > ; borne supérieure fermée → ] et \(\le\) ; borne supérieure ouverte → ) et <. Par exemple, l'inégalité $$2 \le x < 7$$ devient l'intervalle \([2, 7)\), et \(x > 5\) devient \((5, \infty)\).
Exemple détaillé
Supposons que vous vouliez tous les nombres allant de 2 (inclus) jusqu'à 7 (exclu). La borne inférieure 2 est fermée, la borne supérieure 7 est ouverte. Le résultat est l'intervalle \([2, 7)\), l'inégalité \(2 \le x < 7\) et l'ensemble \(\{\, x \mid 2 \le x < 7 \,\}\).
Questions fréquentes
Pourquoi l'infini prend-il toujours une parenthèse ? Parce que l'infini est une notion et non un nombre réel : il ne peut jamais être « inclus » et s'accompagne donc toujours d'une parenthèse ouverte.
Que se passe-t-il si la borne inférieure dépasse la borne supérieure ? L'intervalle est vide : aucun nombre réel ne satisfait les deux conditions à la fois.
Que signifie un point unique comme \(\{3\}\) ? Lorsque les deux bornes sont égales à la même valeur et toutes deux fermées (\(3 \le x \le 3\)), la seule solution est \(x = 3\), ce qui s'écrit sous la forme de l'ensemble à un seul élément \(\{3\}\).
