구간 표기법이란?
구간 표기법은 두 경계 사이에 있는 모든 실수의 집합을 간단하게 나타내는 방법입니다. 대괄호 [ ]는 끝점을 포함한다는 뜻(닫힌 구간)이고, 소괄호 ( )는 끝점을 제외한다는 뜻(열린 구간)입니다. 무한대(∞)와 음의 무한대(−∞)는 실수가 아니어서 절대 도달할 수 없기 때문에 항상 소괄호를 사용합니다.
계산기 사용법
먼저 하한값을 입력하고 그 끝점이 열린 형태(>, 미포함)인지 닫힌 형태(≥, 포함)인지 선택하세요. 상한값도 같은 방식으로 설정하면 됩니다. 한쪽이 무한히 열린 구간이라면 해당 경계 칸을 비워 두기만 하면 됩니다. 그러면 계산기가 자동으로 \(-\infty\) 또는 \(+\infty\)를 적용합니다. 입력하는 즉시 구간, 이에 대응하는 부등식, 그리고 집합 기호(set-builder) 표기까지 한 번에 보여 줍니다.
변환 규칙
끝점의 종류에 따라 사용하는 기호가 달라집니다. 닫힌 하한 → [ 와 ≥, 열린 하한 → ( 와 >, 닫힌 상한 → ] 와 ≤, 열린 상한 → ) 와 <. $$\big[\ \text{a}\,,\ \text{b}\ \big] \;\Longleftrightarrow\; \text{a} \le x \le \text{b}$$ 예를 들어 부등식 \(2 \le x < 7\) 은 구간 \([2, 7)\) 이 되고, \(x > 5\) 는 \((5, \infty)\) 가 됩니다.
예제 풀이
2를 포함하고 7은 포함하지 않는 모든 수를 나타내고 싶다고 해봅시다. 하한값 2는 닫힌 끝점, 상한값 7은 열린 끝점입니다. 그 결과는 구간 [2, 7), 부등식 \(2 \le x < 7\), 집합 \(\{\, x \mid 2 \le x < 7 \,\}\) 으로 표현됩니다.
자주 묻는 질문
무한대는 왜 항상 소괄호를 쓰나요? 무한대는 실제 숫자가 아니라 하나의 개념이기 때문에 결코 "포함"될 수 없습니다. 그래서 언제나 열린 소괄호로 표기합니다.
하한값이 상한값보다 크면 어떻게 되나요? 그 구간은 공집합입니다. 두 조건을 동시에 만족하는 실수가 존재하지 않기 때문입니다.
{3} 처럼 점 하나만 있는 표기는 무슨 뜻인가요? 두 경계가 같은 값이면서 둘 다 닫힌 경우(\(3 \le x \le 3\)), 유일한 해는 \(x = 3\) 뿐입니다. 이를 하나의 점으로 이루어진 집합 \(\{3\}\) 으로 표기합니다.
