अंतराल संकेतन कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

निचली सीमा (a) — −∞ के लिए खाली छोड़ें

निचली सीमा का प्रकार Open ( > , exclusive ) बंद ( ≥ , समावेशी )

ऊपरी सीमा (b) — +∞ के लिए खाली छोड़ें

ऊपरी सीमा का प्रकार Open ( < , exclusive ) बंद ( ≤ , समावेशी )

परिणाम

अंतराल संकेतन

(-∞, ∞)

Valid interval

असमिका	all real numbers
समुच्चय संकेतन	{ x | all real numbers }

अंतराल संकेतन क्या है?

अंतराल संकेतन (interval notation) दो सीमाओं के बीच आने वाली सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को संक्षेप में लिखने का एक तरीका है। चौकोर कोष्ठक [ ] का मतलब है कि वह सिरा शामिल है (बंद), जबकि सामान्य कोष्ठक ( ) का मतलब है कि वह सिरा छोड़ दिया गया है (खुला)। अनंत (∞) और ऋणात्मक अनंत (−∞) के लिए हमेशा सामान्य कोष्ठक ही इस्तेमाल होते हैं, क्योंकि ये वास्तविक संख्याएं नहीं हैं और इन तक कभी नहीं पहुंचा जा सकता।

On a number line, a hollow circle means an open endpoint (exclusive) and a filled dot means a closed endpoint (inclusive).

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

निचली सीमा डालें और तय करें कि वह खुली (\(>\), बहिष्करण) है या बंद (\(\ge\), समावेशी)। ऊपरी सीमा के लिए भी यही करें। यदि कोई एक ओर असीमित (unbounded) है, तो उस सीमा का खाना खाली छोड़ दें — कैलकुलेटर अपने आप \(-\infty\) या \(+\infty\) का उपयोग कर लेगा। यह तुरंत अंतराल, उसके समतुल्य असमिका, और समुच्चय-निर्माता (set-builder) संकेतन दिखा देता है।

बदलने के नियम

सिरे का प्रकार तय करता है कि कौन सा चिह्न लगेगा: बंद निचली सीमा → [ और \(\ge\); खुली निचली सीमा → ( और \(>\); बंद ऊपरी सीमा → ] और \(\le\); खुली ऊपरी सीमा → ) और \(<\)। $$\big[\ \text{a}\,,\ \text{b}\ \big] \;\Longleftrightarrow\; \text{a} \le x \le \text{b}$$ $$\langle\,\text{a}\,,\; \text{b}\,\rangle \;\Longleftrightarrow\; \text{a}\;\lessgtr\;x\;\lessgtr\;\text{b}$$ उदाहरण के लिए, असमिका \(2 \le x < 7\) अंतराल \([2, 7)\) बन जाती है, और \(x > 5\) बन जाता है \((5, \infty)\)।

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Use brackets [ ] for included endpoints and parentheses ( ) for excluded endpoints; infinity always takes a parenthesis.

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए आपको 2 (शामिल) से लेकर 7 तक की, पर 7 को छोड़कर, सभी संख्याएं चाहिए। निचली सीमा 2 बंद है, ऊपरी सीमा 7 खुली है। नतीजा होगा अंतराल \([2, 7)\), असमिका \(2 \le x < 7\), और समुच्चय \(\{\, x \mid 2 \le x < 7 \,\}\)।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

अनंत के साथ हमेशा सामान्य कोष्ठक ही क्यों लगता है? क्योंकि अनंत एक अवधारणा है, कोई वास्तविक संख्या नहीं, इसलिए इसे कभी "शामिल" नहीं किया जा सकता और इसके साथ हमेशा खुला कोष्ठक ही आता है।

अगर निचली सीमा ऊपरी सीमा से बड़ी हो तो? तब अंतराल खाली (empty) होता है — ऐसी कोई वास्तविक संख्या नहीं होती जो दोनों शर्तों को पूरा करे।

\(\{3\}\) जैसे एकल बिंदु का क्या मतलब है? जब दोनों सीमाएं एक ही मान के बराबर हों और दोनों बंद हों (\(3 \le x \le 3\)), तो एकमात्र हल \(x = 3\) होता है, जिसे एकल-बिंदु समुच्चय \(\{3\}\) के रूप में लिखा जाता है।