區間表示法計算機

輸入計算

下界（a）——留空表示 −∞

下界類型 Open ( > , exclusive ) 閉（≥，含）

上界（b）——留空表示 +∞

上界類型 Open ( < , exclusive ) 閉（≤，含）

結果

區間表示法

(-∞, ∞)

Valid interval

不等式	all real numbers
集合表示法	{ x | all real numbers }

什麼是區間表示法？

區間表示法是一種簡潔的寫法，用來表示介於兩個界限之間所有實數所構成的集合。中括號 [ ] 代表端點包含在內（閉區間），而小括號 ( ) 則代表端點不包含在內（開區間）。正無限大（∞）與負無限大（−∞）一律使用小括號，因為它們並非實數，永遠無法被「達到」。

On a number line, a hollow circle means an open endpoint (exclusive) and a filled dot means a closed endpoint (inclusive).

如何使用這個計算機

先輸入下界，並選擇它是開（>，不含）還是閉（≥，含）。上界也以相同方式設定。若某一側沒有界限（無限延伸），只要把該欄位留空即可——計算機會自動套用 −∞ 或 +∞。它會立即回傳區間、對應的不等式，以及集合建構式（set-builder）表示法。

轉換規則

端點的類型決定所使用的符號：閉下界 → [ 與 ≥；開下界 → ( 與 >；閉上界 → ] 與 ≤；開上界 → ) 與 <。舉例來說，不等式 \(2 \le x < 7\) 寫成區間是 \([2, 7)\)，而 \(x > 5\) 則寫成 \((5, \infty)\)。

$$\langle\,\text{a}\,,\; \text{b}\,\rangle \;\Longleftrightarrow\; \text{a}\;\lessgtr\;x\;\lessgtr\;\text{b}$$$$\begin{gathered} \big[\ \text{a}\,,\ \text{b}\ \big] \;\Longleftrightarrow\; \text{a} \le x \le \text{b} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} [\ \text{or}\ ( &\;\text{from}\; \text{Lower type}\ (\text{closed}\Rightarrow\le,\ \text{open}\Rightarrow<) \\ ]\ \text{or}\ ) &\;\text{from}\; \text{Upper type}\ (\text{closed}\Rightarrow\le,\ \text{open}\Rightarrow<) \end{aligned} \right. \end{gathered}$$

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Use brackets [ ] for included endpoints and parentheses ( ) for excluded endpoints; infinity always takes a parenthesis.

實際範例

假設你想表示從 2（含）開始，一直到 7（但不含 7）的所有數。下界 2 為閉，上界 7 為開。結果的區間為 \([2, 7)\)，不等式為 \(2 \le x < 7\)，集合則寫成 \(\{\, x \mid 2 \le x < 7 \,\}\)。

常見問題

為什麼無限大永遠用小括號？因為無限大只是一個概念，並不是一個真正的數，永遠無法被「包含」，所以它一律使用開的小括號。

如果下界比上界還大會怎樣？這個區間是空集合——沒有任何實數能同時滿足這兩個條件。

像 \(\{3\}\) 這樣的單點代表什麼？當兩個界限相等且都是閉端點時（\(3 \le x \le 3\)），唯一的解就是 \(x = 3\)，寫成單點集合 \(\{3\}\)。