À quoi sert ce calculateur
Cet outil approche l'intégrale définie d'une fonction f(x) sur un intervalle fini [a, b] à l'aide de trois méthodes de quadrature composite classiques : la méthode des trapèzes, la méthode du point milieu et la méthode de Simpson. Plutôt que de renvoyer un seul nombre, il applique chaque méthode pour des découpages de 2, 4, 8, 16… subdivisions, en doublant à chaque étape jusqu'au maximum N que vous choisissez. Il affiche ensuite un tableau de convergence : vous voyez les estimations se stabiliser et jugez vous-même de la précision.
Mode d'emploi
Saisissez la fonction à intégrer sous forme d'expression mathématique en la variable x (par exemple 4/(1+x^2) ou sin(x)*exp(-x)). Les opérateurs acceptés sont + - * / ^ avec parenthèses, ainsi que les fonctions usuelles comme sin, cos, tan, exp, log/ln, sqrt et abs, et les constantes pi et e. Indiquez la borne inférieure a et la borne supérieure b, choisissez le nombre maximal de subdivisions N (une puissance de deux) et le nombre de décimales à afficher. Le résultat mis en avant est l'estimation de Simpson pour n = N, car c'est en général celle qui converge le plus vite.
Les formules expliquées
Pour \(n\) sous-intervalles, le pas vaut \(h = (b - a)/n\) et les nœuds sont \(x_i = a + i\,h\). La méthode des trapèzes additionne les valeurs de la fonction en pondérant les deux extrémités par un demi. La méthode du point milieu évalue la fonction au centre de chaque sous-intervalle. La méthode de Simpson combine les deux avec les coefficients 1, 4, 2, 4, …, 4, 1 ; elle est exacte pour les polynômes de degré 3 et offre une erreur d'ordre \(h^4\), contre \(h^2\) pour les deux autres.
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[ f(x_0) + 4\sum_{i\,\text{odd}} f(x_i) + 2\sum_{i\,\text{even}} f(x_i) + f(x_N) \right]$$où \(h = \dfrac{b-a}{N}\) et \(x_i = a + i\,h\).
Exemple résolu
Pour \(f(x) = 4/(1+x^2)\) sur [0, 1], l'intégrale exacte vaut \(\pi = 3{,}14159265\ldots\) Avec \(n = 4\) et \(h = 0{,}25\), l'estimation des trapèzes est d'environ \(3{,}131176\), celle du point milieu d'environ \(3{,}146801\) et celle de Simpson d'environ \(3{,}141569\) — déjà juste à cinq décimales. Lorsque \(n\) augmente, les trois valeurs tendent vers \(\pi\).
FAQ
Pourquoi N doit-il être une puissance de deux ? Doubler les subdivisions permet de comparer aisément les lignes successives et garantit un nombre pair de sous-intervalles, indispensable à la méthode de Simpson.
Quelles fonctions sont hors champ ? Le tableau de convergence suppose une fonction lisse (analytique) et non périodique. Les fonctions présentant une singularité à l'intérieur de [a, b], comme 1/x qui traverse zéro, produiront des infinis ou des résultats aberrants.
Et si a est égal à b, ou si a est supérieur à b ? Si \(a = b\), l'intégrale vaut 0. Si \(a > b\), le résultat est la valeur signée (négative) de l'intégrale sur [b, a].
