Bu araç ne yapar?
Bu hesaplayıcı, bir f(x) fonksiyonunun sonlu bir [a, b] aralığındaki belirli integralini üç klasik bileşik kuadratür kuralıyla yaklaşık olarak hesaplar: Yamuk Kuralı, Orta Nokta Kuralı ve Simpson Kuralı. Tek bir sayı döndürmek yerine, her kuralı 2, 4, 8, 16, ... gibi her seferinde ikiye katlanan alt aralık sayılarında, seçtiğiniz en büyük N değerine kadar hesaplar ve bir yakınsama tablosu yazdırır. Böylece tahminlerin nasıl kararlı hâle geldiğini gözlemleyebilir ve doğruluğu kendiniz değerlendirebilirsiniz.
Nasıl kullanılır?
İntegrali alınacak ifadeyi x değişkenine bağlı bir matematiksel ifade olarak girin (örneğin 4/(1+x^2) veya sin(x)*exp(-x)). Desteklenen operatörler parantezlerle birlikte + - * / ^ olup; sin, cos, tan, exp, log/ln, sqrt ve abs gibi yaygın fonksiyonlar ile pi ve e sabitleri de kullanılabilir. Alt sınır a ve üst sınır b değerlerini belirleyin, en fazla alt aralık sayısı N'yi (ikinin bir kuvveti) seçin ve kaç basamak gösterileceğini belirleyin. Sonuçta öne çıkan değer, genellikle en hızlı yakınsadığı için \(n = N\)'deki Simpson tahminidir.
Formüllerin açıklaması
\(n\) alt aralık için adım \(h = (b - a)/n\) ve düğüm noktaları \(x_i = a + i\,h\) olur. Yamuk kuralı, fonksiyon değerlerini toplarken iki uç noktayı yarım katsayıyla ağırlıklandırır. Orta Nokta kuralı her alt aralığın merkezinden örnek alır. Simpson kuralı ise bunları 1, 4, 2, 4, ..., 4, 1 ağırlıklarıyla harmanlar; üçüncü dereceden polinomlar için tam sonuç verir ve diğer ikisinin \(h^2\) mertebesindeki hatasına karşılık \(h^4\) mertebesinde bir hata sunar.
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[ f(x_0) + 4\sum_{i\,\text{odd}} f(x_i) + 2\sum_{i\,\text{even}} f(x_i) + f(x_N) \right]$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} f(x) &= \text{f(x)} \\ a &= \text{Lower limit} \\ b &= \text{Upper limit} \\ N &= \text{Subdivisions} \\ h &= \frac{b-a}{N}, \quad x_i = a + i\,h \end{aligned} \right.$$
Çözümlü örnek
[0, 1] aralığında \(f(x) = 4/(1+x^2)\) fonksiyonunun tam integrali \(\pi = 3{,}14159265\ldots\)'tir. \(n = 4\) ve \(h = 0{,}25\) için Yamuk tahmini yaklaşık \(3{,}131176\); Orta Nokta tahmini yaklaşık \(3{,}146801\); Simpson tahmini ise yaklaşık \(3{,}141569\) olur — yani beş ondalık basamağa kadar zaten doğru. \(n\) arttıkça üç tahmin de \(\pi\) değerine yaklaşır.
Sıkça sorulan sorular
N neden ikinin bir kuvveti olmalı? Alt aralıkları ikiye katlamak, ardışık satırları kolayca karşılaştırmanızı sağlar ve Simpson kuralı için gereken çift sayıyı garanti eder.
Hangi fonksiyonlar kapsam dışıdır? Yakınsama tablosu, düzgün (analitik) ve periyodik olmayan bir integrand varsayar. [a, b] aralığı içinde tekillik içeren fonksiyonlar (örneğin sıfırdan geçen \(1/x\)) sonsuz veya anlamsız sonuçlar üretir.
a, b'ye eşitse veya a, b'den büyükse ne olur? \(a = b\) ise integral 0'dır. \(a > b\) ise sonuç, [b, a] aralığındaki integralin işaretli (negatif) değeridir.
