Yamuk kuralı nedir?
Yamuk kuralı, bir eğrinin altında kalan alanı yaklaşık olarak hesaplayan bir sayısal integral yöntemidir. Aralığı n eşit alt aralığa böler ve her bir dilimi bir yamuk gibi ele alır. Bütün bu yamukların alanlarını topladığınızda \(\int_{a}^{b} f(x)\,dx\) belirli integralinin bir tahminini elde edersiniz. Bu yöntem, özellikle ters türevi (ilkel fonksiyonu) bulmanın zor ya da imkânsız olduğu durumlarda işinize yarar.
Bu araç nasıl kullanılır?
Fonksiyonunuzu değişken olarak x kullanarak yazın (örneğin x^2, sin(x) ya da exp(x)); ardından alt sınır a, üst sınır b ve alt aralık sayısı n değerlerini belirleyin. n değeri büyüdükçe sonuç genellikle daha doğru çıkar. Araç; yaklaşık integralin yanı sıra adım genişliği \(\Delta x\) değerini ve uç nokta değerlerini de gösterir.
Formülün açıklaması
Bileşik yamuk kuralı şu şekildedir:
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{\Delta x}{2}\cdot\left[ f_0 + 2(f_1 + \cdots + f_{n-1}) + f_n \right], \quad \text{burada}\quad \Delta x = \frac{b - a}{n}.$$
Uç noktalar \(f_0\) ve \(f_n\) bir kez sayılır; buna karşın her iç nokta, komşu iki yamuk tarafından paylaşıldığı için iki kez sayılır.
Çözümlü örnek
\(\int_{0}^{1} x^2\,dx\) integralini \(n = 10\) için yaklaşık olarak hesaplayalım. Burada \(\Delta x = 0{,}1\) olur. f değerlerini düğüm noktalarında topladığınızda yamuk yöntemiyle \(0{,}335\) tahminini elde edersiniz; gerçek değer ise \(\tfrac{1}{3} \approx 0{,}3333\)'tür. n değerini artırmak hatayı küçültür; bu hata kabaca \(\Delta x^2\) ile orantılı olarak azalır.
Sıkça sorulan sorular
Sonucum neden gerçek integralden biraz farklı çıkıyor? Yamuk kuralı bir yaklaşım yöntemidir; alt aralık sayısı n'yi artırdıkça hata azalır.
Hangi fonksiyonlar destekleniyor? Polinomlar ve + - * / ^ işlemleri; ayrıca sin, cos, tan, exp, ln, log, sqrt, abs fonksiyonları ile pi ve e sabitleri desteklenir.
a ile b'nin sırası önemli mi? Eğer \(a > b\) ise sonuç yalnızca ters işaretli çıkar; bu da integralin yönüyle tutarlıdır.
