Калькулятор интегрирования методом трапеций

Введите расчет

Функция f(x) Используйте x как переменную. Поддерживаются + - * / ^ , sin, cos, tan, exp, ln, sqrt, abs, pi.

Нижний предел (a)

Верхний предел (b)

Число разбиений (n)

Результатов

Приближённое значение интеграла

0,335

Оценка ∫f(x) dx методом трапеций

Шаг Δx	0,1
Число разбиений n	10
f(a)	0
f(b)	1

Что такое метод трапеций?

Метод трапеций — это способ численного интегрирования, который приближённо находит площадь под кривой. Интервал делится на n равных отрезков, и каждый из них рассматривается как трапеция. Складывая площади всех этих трапеций, мы получаем оценку определённого интеграла \( \int_{a}^{b} f(x)\,dx \). Это особенно удобно, когда первообразную сложно или вовсе невозможно выразить в явном виде.

Метод трапеций приближает площадь под f(x) с помощью набора трапеций.

Как пользоваться калькулятором

Запишите функцию, используя x в качестве переменной (например, x^2, sin(x) или exp(x)), затем задайте нижний предел a, верхний предел b и количество разбиений n. Чем больше n, тем точнее, как правило, результат. Калькулятор покажет приближённое значение интеграла, а также шаг \( \Delta x \) и значения функции на концах отрезка.

Разбор формулы

Составная формула трапеций выглядит так:

$$ \int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\left[ f(x_0) + 2\sum_{k=1}^{n-1} f(x_k) + f(x_n) \right] $$

$$ \text{где}\quad \left\{ \begin{aligned} f(x) &= \text{Функция } f(x) \\ h &= \dfrac{\text{Верхний предел } b - \text{Нижний предел } a}{\text{Разбиения } n} \\ x_k &= \text{Нижний предел } a + k\,h \end{aligned} \right. $$

Крайние точки \( f_0 \) и \( f_n \) учитываются один раз, а каждый внутренний узел — дважды, поскольку он принадлежит сразу двум соседним трапециям.

Реклама

Каждая полоса имеет ширину Δx и параллельные высоты f(xi) и f(xi+1).

Пример расчёта

Найдём приближённое значение \( \int_{0}^{1} x^2\,dx \) при \( n = 10 \). Здесь \( \Delta x = 0{,}1 \). Сложив значения f в узлах, получаем оценку по методу трапеций \( 0{,}335 \), тогда как точное значение равно \( \frac{1}{3} \approx 0{,}3333 \). С ростом n погрешность уменьшается — она убывает примерно пропорционально \( \Delta x^2 \).

Частые вопросы

Почему мой ответ немного отличается от точного интеграла? Метод трапеций даёт лишь приближение; его погрешность снижается по мере увеличения числа разбиений n.

Какие функции поддерживаются? Многочлены и операторы + - * / ^, а также sin, cos, tan, exp, ln, log, sqrt, abs и константы pi и e.

Можно ли менять порядок a и b? Если a > b, результат просто получит противоположный знак — это согласуется с направлением интегрирования.