Что такое калькулятор интегрирования по правилу Симпсона?
Этот инструмент численно вычисляет определённый интеграл функции f(x) на отрезке [a, b] с помощью составной формулы Симпсона. Это чистая математика, которая работает одинаково в любой стране и не привязана к каким-либо местным правилам. Калькулятор уточняет результат, последовательно удваивая число отрезков разбиения (2, 4, 8, 16, ... вплоть до заданного максимума N), благодаря чему вы наглядно видите, как значение сходится к точному.
Как пользоваться калькулятором
Введите функцию через переменную x (например, 4/(1+x^2) или sin(x)), укажите нижний предел a и верхний предел b, а затем выберите максимальное число разбиений N. Дополнительно можно задать количество значащих цифр в ответе. И в пределах, и в самой функции допустимы константы pi и e, а также функции sin, cos, tan, exp, ln, log10, sqrt, abs и другие.
Разбор формулы
Для чётного числа отрезков \(n\) на интервале [a, b] шаг равен \(h = (b - a) / n\). В узлах \(x_i = a + i\cdot h\) формула Симпсона берёт концевые точки с весом 1, внутренние узлы с нечётными индексами — с весом 4, а внутренние узлы с чётными индексами — с весом 2, после чего вся сумма умножается на \(h/3\). Погрешность метода составляет \(O(h^4)\), и он даёт точный результат для многочленов степени не выше третьей.
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[ f(x_0) + 4\!\!\sum_{i\,\text{odd}}\!\! f(x_i) + 2\!\!\sum_{i\,\text{even}}\!\! f(x_i) + f(x_N) \right]$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} h &= \dfrac{b - a}{N} \\ x_i &= a + i\,h \end{aligned} \right.$$
Разбор примера
Возьмём \(f(x) = 4/(1+x^2)\), \(a = 0\), \(b = 1\), \(n = 4\). Тогда \(h = 0{,}25\), а значения в узлах равны 4,000000, 3,764706, 3,200000, 2,560000, 2,000000. Подставляем в формулу Симпсона: $$S = \frac{0{,}25}{3}\cdot[4 + 4\cdot(3{,}764706 + 2{,}560000) + 2\cdot 3{,}200000 + 2] = 3{,}141569.$$ При \(N = 64\) оценка сходится к \(\pi \approx 3{,}14159265358979\).
Частые вопросы
Почему n обязательно должно быть чётным? Формула Симпсона объединяет соседние отрезки попарно, проводя параболу через три точки, поэтому их количество должно быть чётным. Используемые здесь степени двойки всегда чётные.
Что будет, если b меньше a? Результат просто меняет знак на противоположный по сравнению с интегралом по [b, a]; формула корректно работает и с отрицательным шагом.
А как насчёт особых точек? Если f(x) не определена в каком-либо узле (деление на ноль, логарифм неположительного числа, корень из отрицательного), результат становится недостоверным. В этом случае калькулятор выдаёт сообщение об ошибке, а не вводящее в заблуждение число.
