ما هي حاسبة التكامل بقاعدة سيمبسون؟
تقوم هذه الأداة بحساب تقريب عددي للتكامل المحدد لدالة \(f(x)\) على فترة \([a, b]\) باستخدام قاعدة سيمبسون المركّبة. وهي قاعدة رياضية بحتة تنطبق في كل مكان دون استثناء. تعمل الحاسبة على تحسين تقديرها تدريجياً عبر مضاعفة عدد الفترات الجزئية (2، 4، 8، 16، ... وصولاً إلى الحد الأقصى \(N\) الذي تختاره)، بحيث يمكنك متابعة كيفية تقارب القيمة نحو نتيجتها النهائية.
طريقة الاستخدام
أدخل دالتك بدلالة \(x\) (مثلاً 4/(1+x^2) أو sin(x))، ثم حدّد الحد الأدنى \(a\) والحد الأعلى \(b\)، واختر العدد الأقصى للفترات الجزئية \(N\). كما يمكنك اختيار عدد الأرقام المعنوية المراد عرضها. يقبل كل من الحدود والدالة ثوابت مثل pi وe، إضافة إلى الدوال sin وcos وtan وexp وln وlog10 وsqrt وabs وغيرها.
شرح الصيغة
عندما يكون عدد الفترات الجزئية \(n\) زوجياً على \([a, b]\)، يكون طول الخطوة \(h = (b - a) / n\). ومع العقد \(x_i = a + i\cdot h\)، تُعطي قاعدة سيمبسون وزناً قدره 1 للطرفين، ووزناً قدره 4 للعقد الداخلية ذات الترتيب الفردي، ووزناً قدره 2 للعقد الداخلية ذات الترتيب الزوجي، ثم يُضرب المجموع في \(h/3\). والخطأ في هذه الطريقة من رتبة \(O(h^4)\)، وهي دقيقة تماماً مع كثيرات الحدود من الدرجة الثالثة أو أقل.
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[ f(x_0) + 4\sum_{i\,\text{odd}} f(x_i) + 2\sum_{i\,\text{even}} f(x_i) + f(x_N) \right]$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} h &= \dfrac{b - a}{N} \\ x_i &= a + i\,h \end{aligned} \right.$$
مثال محلول
لنأخذ \(f(x) = 4/(1+x^2)\)، حيث \(a = 0\) و \(b = 1\) و \(n = 4\). عندئذٍ \(h = 0.25\) وتكون قيم العقد كالتالي: 4.000000، 3.764706، 3.200000، 2.560000، 2.000000. وبتطبيق قاعدة سيمبسون: $$S = \frac{0.25}{3}\cdot\left[4 + 4\cdot(3.764706 + 2.560000) + 2\cdot 3.200000 + 2\right] = 3.141569$$ وعند \(N = 64\) يتقارب التقدير نحو \(\pi \approx 3.14159265358979\).
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن يكون \(n\) زوجياً؟ تجمع قاعدة سيمبسون كل فترتين جزئيتين متجاورتين لتمرير قطع مكافئ عبر ثلاث نقاط، لذا يجب أن يكون العدد زوجياً. وقوى العدد 2 المستخدمة هنا هي دائماً أعداد زوجية.
ماذا لو كان \(b\) أصغر من \(a\)؟ تكون النتيجة ببساطة سالب التكامل على الفترة \([b, a]\)؛ فالصيغة تتعامل بشكل صحيح مع طول الخطوة السالب.
ماذا عن النقاط الشاذة؟ إذا كانت \(f(x)\) غير معرّفة عند إحدى العقد (قسمة على صفر، أو لوغاريتم لعدد غير موجب، أو جذر تربيعي لعدد سالب)، تصبح النتيجة غير موثوقة؛ وفي هذه الحالة تُظهر الحاسبة رسالة خطأ بدلاً من عرض قيمة مضلِّلة.
