ما هي المصفوفة المرافقة (المرافق الهرميتي)؟
المصفوفة المرافقة، التي يُرمز لها بـ \(A^{*}\) أو \(A^{\dagger}\) (dagger) أو \(A^{\mathsf{H}}\)، هي المنقول المرافق للمصفوفة A. وتُبنى على خطوتين: أولاً ننقل A (نبدّل بين الصفوف والأعمدة)، ثم نستبدل كل عنصر بمرافقه المركّب (نُبقي الجزء الحقيقي ونعكس إشارة الجزء التخيّلي). فإذا كانت A من الحجم \(m\times n\)، فإن \(A^{*}\) تكون من الحجم \(n\times m\). لاحظ أن المقصود هنا هو المرافق الهرميتي المستخدَم في الجبر الخطي وميكانيكا الكم — وليس "المصفوفة المساعدة" (المرافق الكلاسيكي adjugate، أي منقول مصفوفة العوامل المرافقة) المستخدَم في إيجاد المعكوس.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخِل مصفوفتك بحيث يكون كل صف في سطر مستقل، مع الفصل بين الخلايا بفواصل أو مسافات. الخلايا الحقيقية أرقام عادية مثل 3 أو -2.5. أما الخلايا المركّبة فتُكتب بصيغة a+bi، مثل: 2+3i أو -1-2i أو 4i أو حتى -i فقط. اضبط عدد الصفوف والأعمدة ليطابق بياناتك، واختَر دقة العرض المطلوبة، لتُعيد لك الأداة المصفوفة \(A^{*}\) مع تبديل أبعادها.
شرح الصيغة
اكتب كل عنصر على الصورة \(a_{kl} = x_{kl} + i\,y_{kl}\). عندئذٍ تكون عناصر المصفوفة المرافقة \(B = A^{*}\) هي $$b_{kl} = \overline{a_{lk}} = x_{lk} - i\,y_{lk}$$ فتبديل ترتيب الدليلين هو عملية النقل، أما عكس إشارة \(y\) فهو عملية المرافقة.
مثال محلول
لنأخذ المصفوفة A من الحجم \(2\times 3\) حيث \(A = [[1, 2+3i, -i], [4-i, 5, 6+2i]]\). ينتج عن نقلها ترتيب من الحجم \(3\times 2\)، وبعد إيجاد مرافق كل عنصر نحصل على $$A^{*} = [[1, 4+i], [2-3i, 5], [i, 6-2i]]$$ فيتحوّل \(2+3i\) إلى \(2-3i\)، ويتحوّل \(-i\) إلى \(+i\)، بينما يبقى العدد الحقيقي \(5\) دون تغيير.
خصائص المرافق (المنقول المترافق)
يتم الحصول على المرافق (المترافق الهرميتي) للمصفوفة بنقل المصفوفة ثم أخذ المرافق المركب لكل عنصر: \(\left(A^{*}\right)_{ij} = \overline{A_{ji}}\). الرموز \(A^{*}\) و \(A^{H}\) و \(A^{\dagger}\) تشير جميعها إلى نفس العملية. تنطبق الهويات أدناه على أي مصفوفات معقدة بأحجام متوافقة (وأي عدد معقد \(c\)).
| الخاصية | الهوية | الملاحظات |
|---|---|---|
| الانعكاس الذاتي | \((A^{*})^{*} = A\) | تطبيق المرافق مرتين يعيد المصفوفة الأصلية. |
| الإضافية | \((A+B)^{*} = A^{*} + B^{*}\) | يتطلب أن تكون \(A\) و \(B\) بنفس الحجم. |
| التجانس المترافق | \((cA)^{*} = \overline{c}\,A^{*}\) | يخرج العدد مترافقًا، على سبيل المثال \((iA)^{*} = -iA^{*}\). |
| منتج الترتيب المعاكس | \((AB)^{*} = B^{*}A^{*}\) | يتم عكس ترتيب العوامل (مضاد للتماثل). |
| المعكوس | \((A^{*})^{-1} = (A^{-1})^{*}\) | يبقى صحيحًا عندما تكون \(A\) قابلة للعكس؛ المرافق والمعكوس يبدلان. |
| المحدد | \(\det(A^{*}) = \overline{\det(A)}\) | \(A\) مربعة فقط؛ المحدد مترافق. |
نظرًا لأن المرافقة تترك الأعداد الحقيقية دون تغيير، فإن كل هوية أعلاه تختزل إلى نظيرتها لمصفوفة حقيقية (مع \(A^{*}=A^{\mathsf{T}}\)) عندما تكون جميع العناصر حقيقية.
المصطلحات الأساسية
- المنقول المترافق / المرافق \(A^{*}\)
- المصفوفة التي يتم الحصول عليها بنقل \(A\) ومرافقة كل عنصر: \((A^{*})_{ij} = \overline{A_{ji}}\). تسمى أيضًا المترافق الهرميتي أو المرافق الهرميتي.
- المرافق المركب
- بالنسبة لـ \(z = a + bi\)، المرافق هو \(\overline{z} = a - bi\): يتم قلب إشارة الجزء التخيلي بينما يبقى الجزء الحقيقي كما هو.
- المنقول \(A^{\mathsf{T}}\)
- الانعكاس عبر القطر الرئيسي، مع تبديل الصفوف والأعمدة: \((A^{\mathsf{T}})_{ij} = A_{ji}\). لا يتم تطبيق مرافقة.
- مصفوفة هرميتية
- مصفوفة مربعة تساوي المرافق الخاص بها، \(A^{*} = A\). عناصرها القطرية حقيقية وقيمها الذاتية حقيقية.
- مصفوفة منحرفة هرميتية
- مصفوفة مربعة تحقق \(A^{*} = -A\). عناصرها القطرية خيالية بحتة (أو صفر) وقيمها الذاتية خيالية بحتة.
- مصفوفة أحادية
- مصفوفة مربعة يكون فيها المرافق معكوسها، \(A^{*}A = AA^{*} = I\). المصفوفات الأحادية تحافظ على الضرب الداخلي المركب ولها قيم ذاتية بمقياس واحد.
- الملحق (المرافق الكلاسيكي)
- مفهوم مختلف بالرغم من الاسم المشابه: منقول مصفوفة العوامل، المستخدم في \(A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}(A)\). وهو غير مرتبط بالمنقول المترافق \(A^{*}\).
- رمز الخنجر \(A^{\dagger}\)
- الرمز المستخدم بشكل شائع في الفيزياء (خاصة ميكانيكا الكم) للمنقول المترافق؛ \(A^{\dagger}\) و \(A^{H}\) و \(A^{*}\) كلها تعني نفس العملية.
الأسئلة الشائعة
هل المصفوفة المرافقة هي نفسها المنقول؟ فقط في حالة المصفوفات الحقيقية. أما مع العناصر المركّبة فعليك إيجاد المرافق أيضاً، ولذلك تختلفان.
ما هي المصفوفة الهرميتية؟ هي مصفوفة مربّعة تساوي مرافقتها، أي \(A^{*} = A\). ويمكنك التحقق من ذلك بمقارنة الناتج بالمُدخل.
هل هذه هي المصفوفة المساعدة المستخدَمة في إيجاد المعكوس؟ لا. المصفوفة المساعدة (المرافق الكلاسيكي) هي منقول مصفوفة العوامل المرافقة، بينما تحسب هذه الأداة المنقول المرافق بدلاً من ذلك.
