什麼是矩陣的伴隨（埃爾米特共軛）？
伴隨矩陣記為 \(A^{*}\)、\(A^{\dagger}\)（dagger）或 \(A^{\mathsf{H}}\)，是矩陣 \(A\) 的共軛轉置。它的求法分兩步：先把 \(A\) 轉置（行列互換），再把每個元素換成它的複共軛（實部保留、虛部變號）。若 \(A\) 為 \(m \times n\)，則 \(A^{*}\) 為 \(n \times m\)。要注意這裡指的是線性代數與量子力學中所用的埃爾米特共軛（Hermitian conjugate），而非用於求反矩陣的「伴隨矩陣」（adjugate，又稱古典伴隨，即餘因子矩陣的轉置）——兩者中文都常譯作「伴隨」，但意義不同，請勿混淆。
計算機使用說明
輸入矩陣時，每一列佔一行，同一列的元素以逗號或空格分隔。實數元素直接寫成 3 或 -2.5 即可。複數元素採用 a+bi 的格式：例如 2+3i、-1-2i、4i，或只寫 -i。請依資料設定列數與行數，再選擇顯示位數，工具便會回傳維度對調後的 \(A^{*}\)。
公式解析
把每個元素寫成 \(a_{kl} = x_{kl} + i\,y_{kl}\)。伴隨矩陣 \(B = A^{*}\) 的元素為
$$b_{kl} = \overline{a_{lk}} = x_{lk} - i\,y_{lk}$$下標的位置對調代表「轉置」，\(y\) 的符號反轉則代表「共軛」。整體可寫成
$$A^{*} = \overline{A^{\mathsf{T}}} = \left(\overline{A}\right)^{\mathsf{T}}$$當所有 \(y_{ij}=0\) 時，則 \(A^{*} = A^{\mathsf{T}}\)。
範例演算
以 \(2 \times 3\) 矩陣 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2+3i & -i \\ 4-i & 5 & 6+2i \end{bmatrix}\) 為例。轉置後變成 \(3 \times 2\) 的排列，再對每個元素取共軛，得到
$$A^{*} = \begin{bmatrix} 1 & 4+i \\ 2-3i & 5 \\ i & 6-2i \end{bmatrix}$$因此 \(2+3i\) 變成 \(2-3i\)、\(-i\) 變成 \(+i\)，而實數 \(5\) 維持不變。
伴隨矩陣（共軛轉置）的性質
矩陣的伴隨矩陣（Hermitian 共軛）透過轉置後再取每個元素的複共軛得到：\(\left(A^{*}\right)_{ij} = \overline{A_{ji}}\)。記號 \(A^{*}\)、\(A^{H}\) 和 \(A^{\dagger}\) 都表示同一種運算。下面的恆等式對任何大小相容的複矩陣（以及任何複數標量 \(c\)）都成立。
| 性質 | 恆等式 | 說明 |
|---|---|---|
| 迴旋性 | \((A^{*})^{*} = A\) | 將伴隨運算應用兩次會回到原矩陣。 |
| 可加性 | \((A+B)^{*} = A^{*} + B^{*}\) | 要求 \(A\) 和 \(B\) 大小相同。 |
| 共軛齊次性 | \((cA)^{*} = \overline{c}\,A^{*}\) | 標量取出時被共軛，例如 \((iA)^{*} = -iA^{*}\)。 |
| 反向乘積 | \((AB)^{*} = B^{*}A^{*}\) | 因子順序被反轉（反同態）。 |
| 逆矩陣 | \((A^{*})^{-1} = (A^{-1})^{*}\) | 當 \(A\) 可逆時成立；伴隨和逆矩陣可交換。 |
| 行列式 | \(\det(A^{*}) = \overline{\det(A)}\) | 僅適用於方陣 \(A\)；行列式被共軛。 |
由於共軛不改變實數，當所有元素都是實數時，上面的每個恆等式都簡化為其實矩陣對應版本（其中 \(A^{*}=A^{\mathsf{T}}\)）。
關鍵詞彙
- 共軛轉置 / 伴隨矩陣 \(A^{*}\)
- 透過轉置 \(A\) 並共軛每個元素得到的矩陣：\((A^{*})_{ij} = \overline{A_{ji}}\)。也稱為 Hermitian 共軛或 Hermitian 伴隨。
- 複共軛
- 對於 \(z = a + bi\)，共軛為 \(\overline{z} = a - bi\)：虛部的符號被翻轉，而實部保持不變。
- 轉置 \(A^{\mathsf{T}}\)
- 沿著主對角線的反射，交換行與列：\((A^{\mathsf{T}})_{ij} = A_{ji}\)。不進行共軛。
- Hermitian 矩陣
- 等於其自身伴隨的方陣，\(A^{*} = A\)。其對角線元素是實數，其特徵值是實數。
- 反 Hermitian 矩陣
- 滿足 \(A^{*} = -A\) 的方陣。其對角線元素是純虛數（或零），其特徵值是純虛數。
- 么正矩陣
- 其伴隨矩陣為其逆矩陣的方陣，\(A^{*}A = AA^{*} = I\)。么正矩陣保持複內積，且其特徵值的模為 1。
- 伴隨矩陣（古典伴隨）
- 儘管名稱相似，但概念不同：余因子矩陣的轉置，用於 \(A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}(A)\)。它與共軛轉置 \(A^{*}\) 無關。
- 匕首記號 \(A^{\dagger}\)
- 物理學中（尤其是量子力學）常用的共軛轉置符號；\(A^{\dagger}\)、\(A^{H}\) 和 \(A^{*}\) 都表示同一運算。
常見問題
伴隨和轉置是同一回事嗎？只有在實數矩陣時才相同。若含有複數元素，還必須額外取共軛，兩者就會不一樣。
什麼是埃爾米特矩陣（Hermitian matrix）？指等於自身伴隨的方陣，即 \(A^{*} = A\)。你可以把輸出與輸入相比對來驗證。
這是不是求反矩陣時用的那個伴隨矩陣（adjugate）？不是。adjugate（古典伴隨）是餘因子矩陣的轉置；本工具計算的是共軛轉置。
