什麼是反矩陣？
方陣 A 的反矩陣（記作 \(A^{-1}\)）是指滿足 \(A\cdot A^{-1} = A^{-1}\cdot A = I\) 的矩陣，其中 \(I\) 為單位矩陣。反矩陣只有在矩陣為「非奇異」（non-singular）時才存在，也就是它的行列式不等於零。這個計算機可以幫你算出任何 2×2 或 3×3 矩陣的行列式與反矩陣。
如何使用這個計算機
先選擇你的矩陣是 2×2 還是 3×3，再把每個元素填入對應的格子（a11 是左上角的元素、a23 是第 2 列第 3 行，以此類推）。若是 2×2 矩陣，只會用到左上角的四個格子。輸入完成後按下計算，即可看到行列式；只要行列式不為零，就會同時顯示完整的反矩陣。
公式詳解
反矩陣的計算公式為 \(A^{-1} = \operatorname{adj}(A) / \det(A)\)。其中伴隨矩陣 \(\operatorname{adj}(A)\) 是餘因子矩陣（cofactor matrix）的轉置，而每個餘因子都是原矩陣帶正負號的子行列式（minor）。把伴隨矩陣除以行列式，等於將其重新縮放，使它與 A 相乘後恰好得到單位矩陣。如果 \(\det(A) = 0\)，這個除法就沒有意義，矩陣也就沒有反矩陣——這種矩陣稱為「奇異矩陣」（singular matrix）。
$$\begin{gathered} A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}(A) \\[1.5em] \det A = a_{11}\!\left(a_{22}\,a_{33} - a_{23}\,a_{32}\right) - a_{12}\!\left(a_{21}\,a_{33} - a_{23}\,a_{31}\right) + a_{13}\!\left(a_{21}\,a_{32} - a_{22}\,a_{31}\right) \end{gathered}$$
範例演算
以 2×2 矩陣 \(\begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}\) 為例。其行列式為 $$4\cdot 6 - 7\cdot 2 = 24 - 14 = 10$$ 反矩陣則是 $$\frac{1}{10}\begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.6 & -0.7 \\ -0.2 & 0.4 \end{bmatrix}$$ 你可以把兩者相乘來驗算，結果會剛好是單位矩陣。
常見問題
為什麼我的矩陣沒有反矩陣？因為它的行列式為零。奇異矩陣會把空間壓縮到較低的維度，導致這個變換無法被還原。
列的順序會有影響嗎？會。a11、a12、a21、a22 各自佔有固定的位置，所以請完全依照矩陣中的排列來輸入數值。
可以處理更大的矩陣嗎？本工具僅支援 2×2 與 3×3。更大的方程組通常會改用高斯消去法，或藉助 NumPy 之類的軟體來求解。
