आव्यूह का सहायक (हर्मिटियन संयुग्म) क्या होता है?
सहायक आव्यूह, जिसे \(A^{*}\), \(A^{\dagger}\) (डैगर) या \(A^{\mathsf{H}}\) लिखा जाता है, किसी आव्यूह A का संयुग्मी परिवर्त (conjugate transpose) होता है। इसे दो चरणों में बनाया जाता है: पहले A का परिवर्त (transpose) लें यानी पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदल दें, फिर हर अवयव को उसके सम्मिश्र संयुग्म से बदल दें (वास्तविक भाग वैसा ही रखें और काल्पनिक भाग का चिह्न उलट दें)। यदि A का आकार \(m\times n\) है, तो A* का आकार \(n\times m\) होगा। ध्यान दें कि यह वही हर्मिटियन संयुग्म है जो रैखिक बीजगणित और क्वांटम यांत्रिकी में काम आता है — इसे आव्यूह व्युत्क्रम (inverse) में उपयोग होने वाले "एडजुगेट" (शास्त्रीय सहायक, यानी सहखंड आव्यूह का परिवर्त) के साथ नहीं जोड़ना चाहिए।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अपना आव्यूह इस तरह डालें कि हर पंक्ति एक अलग लाइन में हो, और कोशिकाओं को अल्पविराम या स्पेस से अलग करें। वास्तविक कोशिकाएँ सामान्य संख्याएँ होती हैं, जैसे 3 या -2.5। सम्मिश्र कोशिकाओं के लिए a+bi रूप अपनाएँ: 2+3i, -1-2i, 4i या केवल -i। पंक्तियों और स्तंभों की संख्या अपने डेटा के अनुसार सेट करें, प्रदर्शन के लिए दशमलव अंक चुनें, और कैलकुलेटर बदले हुए आकार के साथ A* दे देगा।
सूत्र की व्याख्या
हर अवयव को \(a_{kl} = x_{kl} + i\,y_{kl}\) के रूप में लिखें। सहायक आव्यूह \(B = A^{*}\) के अवयव होते हैं
$$b_{kl} = \overline{a_{lk}} = x_{lk} - i\,y_{lk}$$सूचकांकों की अदला-बदली परिवर्त (transpose) को दर्शाती है, और y पर चिह्न का उलटना संयुग्मन (conjugation) को।
$$A^{*} = \overline{A^{\mathsf{T}}} = \left(\overline{A}\right)^{\mathsf{T}}$$वास्तविक आव्यूहों के लिए:
$$A^{*} = A^{\mathsf{T}} \quad (\text{if all } y_{ij}=0)$$
हल किया हुआ उदाहरण
\(2\times 3\) आव्यूह \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2+3i & -i \\ 4-i & 5 & 6+2i \end{bmatrix}\) लें। इसका परिवर्त लेने पर \(3\times 2\) का विन्यास बनता है, और हर अवयव का संयुग्म लेने पर
$$A^{*} = \begin{bmatrix} 1 & 4+i \\ 2-3i & 5 \\ i & 6-2i \end{bmatrix}$$मिलता है। यानी \(2+3i\) बन जाता है \(2-3i\), \(-i\) बन जाता है \(+i\), और वास्तविक संख्या \(5\) ज्यों की त्यों रहती है।
सहायक (संयुग्म स्थानांतरण) के गुण
किसी मैट्रिक्स का सहायक (हर्मिटियन संयुग्म) को स्थानांतरित करके और फिर हर प्रविष्टि का जटिल संयुग्म लेकर प्राप्त किया जाता है: \(\left(A^{*}\right)_{ij} = \overline{A_{ji}}\)। संकेतन \(A^{*}\), \(A^{H}\) और \(A^{\dagger}\) सभी एक ही ऑपरेशन को दर्शाते हैं। नीचे दी गई पहचान किसी भी जटिल मैट्रिक्स के लिए संगत आकार की होती है (और किसी भी जटिल अदिश \(c\))।
| गुण | पहचान | नोट्स |
|---|---|---|
| प्रतिवलन | \((A^{*})^{*} = A\) | सहायक को दो बार लागू करने से मूल मैट्रिक्स वापस आ जाता है। |
| योजकता | \((A+B)^{*} = A^{*} + B^{*}\) | \(A\) और \(B\) का आकार समान होना आवश्यक है। |
| संयुग्म समरूपता | \((cA)^{*} = \overline{c}\,A^{*}\) | अदिश संयुग्मित रूप में आता है, उदाहरण के लिए \((iA)^{*} = -iA^{*}\)। |
| विपरीत-क्रम गुणनफल | \((AB)^{*} = B^{*}A^{*}\) | कारक क्रम उलट जाता है (प्रतिसमरूपता)। |
| प्रतिलोम | \((A^{*})^{-1} = (A^{-1})^{*}\) | तब मान्य है जब \(A\) प्रतिलोमनीय हो; सहायक और प्रतिलोम क्रमविनिमेय हैं। |
| सारणिक | \(\det(A^{*}) = \overline{\det(A)}\) | केवल वर्ग \(A\) के लिए; सारणिक संयुग्मित है। |
क्योंकि संयुग्मन वास्तविक संख्याओं को अपरिवर्तित छोड़ता है, जब सभी प्रविष्टियाँ वास्तविक हों तो उपरोक्त सभी पहचान अपने वास्तविक-मैट्रिक्स समकक्ष (\(A^{*}=A^{\mathsf{T}}\) के साथ) में कम हो जाती हैं।
मुख्य पद
- संयुग्म स्थानांतरण / सहायक \(A^{*}\)
- \(A\) को स्थानांतरित करके और हर प्रविष्टि को संयुग्मित करके प्राप्त मैट्रिक्स: \((A^{*})_{ij} = \overline{A_{ji}}\)। इसे हर्मिटियन संयुग्म या हर्मिटियन सहायक भी कहा जाता है।
- जटिल संयुग्म
- \(z = a + bi\) के लिए, संयुग्म \(\overline{z} = a - bi\) है: काल्पनिक भाग का चिन्ह पलट दिया जाता है जबकि वास्तविक भाग समान रहता है।
- स्थानांतरण \(A^{\mathsf{T}}\)
- मुख्य विकर्ण के पार प्रतिबिंब, पंक्तियों और स्तंभों को स्वैप करता है: \((A^{\mathsf{T}})_{ij} = A_{ji}\)। कोई संयुग्मन लागू नहीं है।
- हर्मिटियन मैट्रिक्स
- एक वर्ग मैट्रिक्स जो अपने स्वयं के सहायक के बराबर है, \(A^{*} = A\)। इसकी विकर्ण प्रविष्टियाँ वास्तविक हैं और इसके अभिलक्षणिक मान वास्तविक हैं।
- तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिक्स
- एक वर्ग मैट्रिक्स जो \(A^{*} = -A\) को संतुष्ट करता है। इसकी विकर्ण प्रविष्टियाँ विशुद्ध काल्पनिक हैं (या शून्य) और इसके अभिलक्षणिक मान विशुद्ध काल्पनिक हैं।
- एकात्मक मैट्रिक्स
- एक वर्ग मैट्रिक्स जिसका सहायक इसका प्रतिलोम है, \(A^{*}A = AA^{*} = I\)। एकात्मक मैट्रिक्स जटिल आंतरिक गुणनफल को संरक्षित करते हैं और मापांक 1 के अभिलक्षणिक मान रखते हैं।
- सहायक (शास्त्रीय सहायक)
- एक भिन्न अवधारणा इसी नाम के बावजूद: सह-कारक मैट्रिक्स का स्थानांतरण, \(A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}(A)\) में उपयोग किया जाता है। यह संयुग्म स्थानांतरण \(A^{*}\) से असंबंधित है।
- डैगर संकेतन \(A^{\dagger}\)
- भौतिकी में (विशेष रूप से क्वांटम यांत्रिकी) संयुग्म स्थानांतरण के लिए सामान्यतः उपयोग किया जाने वाला प्रतीक; \(A^{\dagger}\), \(A^{H}\) और \(A^{*}\) सभी का अर्थ एक ही ऑपरेशन है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या सहायक और परिवर्त एक ही चीज़ हैं? केवल वास्तविक आव्यूहों के लिए। सम्मिश्र अवयवों के मामले में आपको संयुग्म भी लेना पड़ता है, इसलिए दोनों अलग होते हैं।
हर्मिटियन आव्यूह क्या होता है? ऐसा वर्ग आव्यूह जो अपने ही सहायक के बराबर हो, यानी \(A^{*} = A\)। आप आउटपुट और इनपुट की तुलना करके इसे जाँच सकते हैं।
क्या यह वही एडजुगेट है जो व्युत्क्रम में काम आता है? नहीं। एडजुगेट (शास्त्रीय सहायक) सहखंड आव्यूह का परिवर्त होता है; जबकि यह कैलकुलेटर संयुग्मी परिवर्त निकालता है।
