यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल किसी भी वास्तविक n × m मैट्रिक्स \(A = \{a_{ij}\}\) के चार सबसे अधिक इस्तेमाल होने वाले मैट्रिक्स नॉर्म की गणना करता है: L1 नॉर्म (अधिकतम निरपेक्ष कॉलम योग), L2 / स्पेक्ट्रल नॉर्म (सबसे बड़ा सिंगुलर मान), फ्रोबेनियस नॉर्म (सभी प्रविष्टियों के वर्गों के योग का वर्गमूल), और L-अनंत नॉर्म (अधिकतम निरपेक्ष पंक्ति योग)। मैट्रिक्स नॉर्म किसी मैट्रिक्स के "आकार" को मापते हैं और यह बताते हैं कि वह किसी वेक्टर को अधिकतम कितने गुना तक खींच सकता है। इसी वजह से ये न्यूमेरिकल लीनियर अलजेब्रा, ऑप्टिमाइज़ेशन, मशीन लर्निंग और स्थिरता विश्लेषण (stability analysis) में बेहद ज़रूरी हैं। यह शुद्ध गणित है और दुनिया भर में एक जैसा रहता है।
इसका उपयोग कैसे करें
पंक्तियों (n) और कॉलम (m) की संख्या तय करें, फिर टेक्स्ट बॉक्स में मैट्रिक्स टाइप करें — हर पंक्ति एक नई लाइन में, और प्रविष्टियाँ स्पेस या कॉमा से अलग करके। कोई भी खाली सेल 0 मान ली जाती है। यह चुनें कि कितने सार्थक अंक (significant digits) दिखाने हैं, और फिर चारों नॉर्म पढ़ लें। ऋणात्मक प्रविष्टियाँ अपने-आप संभाल ली जाती हैं, क्योंकि जहाँ ज़रूरी हो, हर सूत्र निरपेक्ष मानों का उपयोग करता है।
सूत्रों की व्याख्या
1-नॉर्म हर कॉलम के निरपेक्ष मानों को जोड़ता है और सबसे बड़ा योग रखता है। अनंत-नॉर्म यही काम हर पंक्ति में करता है। फ्रोबेनियस नॉर्म मैट्रिक्स को एक वेक्टर में सपाट करके उसकी यूक्लिडियन लंबाई लेता है: हर प्रविष्टि के वर्ग के योग का वर्गमूल। स्पेक्ट्रल नॉर्म सबसे बड़े सिंगुलर मान \(\sigma_{\max}(A)\) के बराबर होता है, जिसे सममित ग्राम मैट्रिक्स A-ट्रांसपोज़ A के सबसे बड़े आइगनवैल्यू के वर्गमूल के रूप में निकाला जाता है; इस आइगनवैल्यू को हम पावर इटरेशन (power iteration) द्वारा प्राप्त करते हैं। पूरी तरह शून्य वाली मैट्रिक्स के लिए हर नॉर्म सीधे 0 हो जाता है।
$$\|\text{A}\|_{1} = \max_{1 \le j \le m} \sum_{i=1}^{n} |a_{ij}|$$$$\|\text{A}\|_{\infty} = \max_{1 \le i \le n} \sum_{j=1}^{m} |a_{ij}|$$$$\|\text{A}\|_{F} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} a_{ij}^{2}}$$$$\|\text{A}\|_{2} = \sigma_{\max}(\text{A}) = \sqrt{\lambda_{\max}\!\left(\text{A}^{\mathsf{T}}\text{A}\right)}$$
हल किया हुआ उदाहरण
\(A = [[1, 2], [3, 4]]\) के लिए: कॉलम योग 4 और 6 हैं, इसलिए L1 नॉर्म 6 है; पंक्ति योग 3 और 7 हैं, इसलिए L-अनंत नॉर्म 7 है। फ्रोबेनियस नॉर्म $$\sqrt{1+4+9+16} = \sqrt{30} = 5.4772255751$$ है। ग्राम मैट्रिक्स \(\text{A}^{\mathsf{T}}\text{A} = [[10,14],[14,20]]\) के आइगनवैल्यू \(\lambda^{2} - 30\lambda + 4 = 0\) को हल करने से मिलते हैं, जिससे \(\lambda_{\max} = 29.8660687473\) आता है, इसलिए स्पेक्ट्रल नॉर्म $$\sqrt{29.8660687473} = 5.4649857042$$ है।
सामान्य प्रश्न (FAQ)
क्या स्पेक्ट्रल नॉर्म और फ्रोबेनियस नॉर्म एक ही होते हैं? सिर्फ़ रैंक-1 मैट्रिक्स के लिए (जैसे कोई एक पंक्ति या एक कॉलम वाला वेक्टर)। सामान्यतः \(\text{norm}_2\), \(\text{norm}_F\) से कम या बराबर होता है, और \(\text{norm}_F\) अधिकतम \(\sqrt{\text{rank}}\) गुना \(\text{norm}_2\) तक हो सकता है।
कॉम्प्लेक्स मैट्रिक्स का क्या? निरपेक्ष मान वाले हिस्सों में हर प्रविष्टि को उसके परिमाण (magnitude) से बदल दें, और स्पेक्ट्रल नॉर्म के लिए कन्जुगेट ट्रांसपोज़ का इस्तेमाल करें। यह कैलकुलेटर वास्तविक मैट्रिक्स के लिए बनाया गया है।
L1 नॉर्म कॉलम और L-अनंत पंक्तियों का उपयोग क्यों करता है? ये L1 और L-अनंत वेक्टर नॉर्म से प्रेरित (इंड्यूस्ड/ऑपरेटर) नॉर्म हैं, और गणित से देखने पर ये क्रमशः अधिकतम कॉलम योग और अधिकतम पंक्ति योग के बराबर निकलते हैं।
