मैट्रिक्स ट्रांसपोज़ कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल आपके द्वारा दर्ज किसी भी मैट्रिक्स का ट्रांसपोज़ (जिसे \(A^{\mathsf{T}}\) लिखा जाता है) निकालता है। किसी मैट्रिक्स को ट्रांसपोज़ करने का मतलब है उसे उसके मुख्य विकर्ण (main diagonal) के सहारे पलट देना — हर पंक्ति (row) कॉलम बन जाती है और हर कॉलम पंक्ति। कैलकुलेटर आपके इनपुट को पढ़ता है, मूल मैट्रिक्स बनाता है, और \(A^{\mathsf{T}}\) के साथ-साथ दोनों मैट्रिक्स के आयाम (dimensions) भी दिखाता है ताकि आप अपना उत्तर झटपट जाँच सकें।
अपना मैट्रिक्स कैसे दर्ज करें
यहाँ सिर्फ़ एक इनपुट फ़ील्ड है: मैट्रिक्स दर्ज करें। फ़ॉर्मेट बेहद आसान है:
- एक ही पंक्ति के मानों को कॉमा से अलग करें।
- नई पंक्ति शुरू करने के लिए वर्टिकल बार
|का इस्तेमाल करें। - मान पूर्णांक (integers) या दशमलव (decimals) हो सकते हैं — इन्हें पूरी दशमलव सटीकता के साथ पढ़ा जाता है।
उदाहरण के लिए, 1, 2, 3 | 4, 5, 6 एक 2×3 मैट्रिक्स दर्शाता है जिसकी पंक्तियाँ [1, 2, 3] और [4, 5, 6] हैं। संख्याओं के आसपास की अतिरिक्त खाली जगह अपने-आप हट जाती है, इसलिए साफ़-सुथरा फ़ॉर्मेटिंग भी बिल्कुल ठीक रहती है।
फ़ॉर्मूला समझें
ट्रांसपोज़ को हर एलिमेंट के स्तर पर इस तरह परिभाषित किया जाता है:
$$\left(A^{\mathsf{T}}\right)_{ij} = A_{ji}$$
सीधे शब्दों में, ट्रांसपोज़ किए गए मैट्रिक्स की पंक्ति i, कॉलम j वाली एंट्री, मूल मैट्रिक्स की पंक्ति j, कॉलम i वाली एंट्री के बराबर होती है। अगर मूल A एक m×n मैट्रिक्स है (m पंक्तियाँ, n कॉलम), तो \(A^{\mathsf{T}}\) एक n×m मैट्रिक्स होगा। कैलकुलेटर मूल पंक्तियों/कॉलमों और ट्रांसपोज़ की गई पंक्तियों/कॉलमों को दिखाकर इसकी पुष्टि कर देता है।
हल किया हुआ उदाहरण
दर्ज करें: 1, 2, 3 | 4, 5, 6
यह एक 2×3 मैट्रिक्स है:
- पंक्ति 1: 1, 2, 3
- पंक्ति 2: 4, 5, 6
\(\left(A^{\mathsf{T}}\right)_{ij} = A_{ji}\) लागू करने पर, हर मूल पंक्ति एक कॉलम बन जाती है। परिणाम एक 3×2 मैट्रिक्स है:
- पंक्ति 1: 1, 4
- पंक्ति 2: 2, 5
- पंक्ति 3: 3, 6
ध्यान दें कि आयाम 2×3 से बदलकर 3×2 हो गए — ठीक वैसे ही जैसे फ़ॉर्मूला बताता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या हर पंक्ति में मानों की संख्या एक जैसी होनी चाहिए? हाँ। कैलकुलेटर कॉलम की संख्या तय करने के लिए पहली पंक्ति की लंबाई का इस्तेमाल करता है, इसलिए सही और आयताकार (rectangular) परिणाम पाने के लिए हर पंक्ति में कॉमा से अलग किए गए मानों की संख्या समान होनी चाहिए।
क्या मैं किसी एक पंक्ति या कॉलम (वेक्टर) को ट्रांसपोज़ कर सकता हूँ? बिल्कुल। 1, 2, 3 (एक पंक्ति) दर्ज करने पर 3×1 कॉलम मिलेगा, और 1 | 2 | 3 दर्ज करने पर 1×3 पंक्ति मिलेगी। ट्रांसपोज़ करना पंक्ति वेक्टर और कॉलम वेक्टर के बीच अदला-बदली कर देता है।
अगर मैं \(A^{\mathsf{T}}\) को दोबारा ट्रांसपोज़ करूँ तो क्या होगा? आपको वापस मूल मैट्रिक्स ही मिल जाएगा, क्योंकि \(\left(A^{\mathsf{T}}\right)^{\mathsf{T}} = A\)। यह जाँचने का एक झटपट तरीका है कि आपका इनपुट सही पढ़ा गया था या नहीं।
