Что делает калькулятор транспонирования матрицы
Этот инструмент вычисляет транспонированную матрицу (обозначается \(A^{\mathsf{T}}\)) для любой введённой вами матрицы. При транспонировании матрица как бы «отражается» относительно главной диагонали: каждая строка превращается в столбец, а каждый столбец — в строку. Калькулятор разбирает введённые данные, строит исходную матрицу и выдаёт \(A^{\mathsf{T}}\) вместе с размерностями обеих матриц, чтобы вы могли быстро проверить результат.
Как ввести матрицу
Для ввода предусмотрено одно поле: Введите матрицу. Формат предельно простой:
- Значения внутри строки разделяйте запятыми.
- Чтобы начать новую строку, ставьте вертикальную черту
|. - Допустимы как целые числа, так и десятичные дроби (они считываются с точной десятичной точностью).
Например, запись 1, 2, 3 | 4, 5, 6 задаёт матрицу 2×3 со строками [1, 2, 3] и [4, 5, 6]. Лишние пробелы вокруг чисел отбрасываются автоматически, поэтому аккуратное оформление никак не повредит.
Разбираем формулу
Транспонирование определяется поэлементно так:
$$\left(A^{\mathsf{T}}\right)_{ij} = A_{ji}$$
Проще говоря, элемент в строке i и столбце j транспонированной матрицы равен элементу в строке j и столбце i исходной. Если исходная матрица A имеет размер m×n (m строк, n столбцов), то \(A^{\mathsf{T}}\) будет иметь размер n×m. Калькулятор подтверждает это, показывая число строк и столбцов как исходной, так и транспонированной матрицы.
Разбор примера
Введём: 1, 2, 3 | 4, 5, 6
Это матрица 2×3:
- Строка 1: 1, 2, 3
- Строка 2: 4, 5, 6
Применяя формулу \(\left(A^{\mathsf{T}}\right)_{ij} = A_{ji}\), каждая строка исходной матрицы становится столбцом. В результате получаем матрицу 3×2:
- Строка 1: 1, 4
- Строка 2: 2, 5
- Строка 3: 3, 6
Обратите внимание: размерность изменилась с 2×3 на 3×2 — ровно так, как и предсказывает формула.
Часто задаваемые вопросы
Должно ли быть одинаковое количество значений во всех строках? Да. Калькулятор определяет число столбцов по длине первой строки, поэтому в каждой строке должно быть одинаковое количество значений, разделённых запятыми, — иначе матрица не будет прямоугольной и результат окажется неверным.
Можно ли транспонировать одну строку или столбец (вектор)? Конечно. Ввод 1, 2, 3 (одна строка) даст столбец 3×1, а запись 1 | 2 | 3 — строку 1×3. Транспонирование переводит вектор-строку в вектор-столбец и обратно.
Что произойдёт, если транспонировать \(A^{\mathsf{T}}\) ещё раз? Вы получите исходную матрицу, ведь \(\left(A^{\mathsf{T}}\right)^{\mathsf{T}} = A\). Это удобный способ проверить, что данные были введены и считаны правильно.
