व्युत्क्रम आव्यूह (इन्वर्स मैट्रिक्स) कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

आव्यूह का आकार 2 × 2 3 × 3

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

2×2 आव्यूह के लिए केवल ऊपर-बाईं ओर के a11, a12, a21, a22 भरें।

परिणाम

सारणिक det(A)

10

A व्युत्क्रमणीय है (det ≠ 0)

Inverse Matrix A^-1

0.6	-0.7
-0.2	0.4

व्युत्क्रम आव्यूह कैलकुलेटर क्या है?

यह टूल किसी वर्ग आव्यूह — 2×2 या 3×3 — का व्युत्क्रम निकालता है। किसी आव्यूह A का व्युत्क्रम, जिसे \(A^{-1}\) लिखा जाता है, वह आव्यूह होता है जो शर्त \(A \cdot A^{-1} = I\) को संतुष्ट करता है, जहाँ I तत्समक आव्यूह (आइडेंटिटी म␔ट्रिक्स) है। व्युत्क्रम तभी मौजूद होता है जब सारणिक (डिटरमिनेंट) शून्य न हो; अन्यथा उस आव्यूह को अव्युत्क्रमणीय (सिंगुलर) कहते हैं और उसका व्युत्क्रम नहीं निकाला जा सकता।

इसका उपयोग कैसे करें

अपने आव्यूह का आकार चुनें (2×2 या 3×3), हर खाने में संबंधित मान भरें, और कैलकुलेटर आपको सारणिक और पूरा व्युत्क्रम आव्यूह लौटा देगा। 2×2 आव्यूह के लिए केवल ऊपर-बाईं ओर के चार खाने (a11, a12, a21, a22) इस्तेमाल होते हैं। यदि सारणिक शून्य निकलता है, तो टूल बता देगा कि इस आव्यूह का कोई व्युत्क्रम नहीं है।

सूत्र की व्याख्या

सामान्य विधि में सहखंडज (एडजुगेट) का उपयोग किया जाता है:

$$A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}(A)$$

सहखंडज, सहगुणज आव्यूह (कोफैक्टर मैट्रिक्स) का परिवर्त (ट्रांसपोज़) होता है। 2×2 आव्यूह \(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) के लिए यह सरल होकर निम्न हो जाता है:

$$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$

3×3 आव्यूह के लिए हम नौ सहगुणज (कोफैक्टर) निकालते हैं, उन्हें ट्रांसपोज़ करते हैं और प्रत्येक को सारणिक से भाग देते हैं।

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प्रतिलोम, सहखंडज को सारणिक से विभाजित करने पर मिलता है।

किसी आव्यूह को उसके प्रतिलोम से गुणा करने पर तत्समक आव्यूह I मिलता है।

हल किया गया उदाहरण

मान लीजिए \(A = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}\)। इसका सारणिक है:

$$(4 \cdot 6) - (7 \cdot 2) = 24 - 14 = 10$$

व्युत्क्रम है:

$$\frac{1}{10} \begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.6 & -0.7 \\ -0.2 & 0.4 \end{bmatrix}$$

आप \(A \cdot A^{-1}\) गुणा करके जाँच सकते हैं कि परिणाम तत्समक आव्यूह आता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

मेरे आव्यूह का व्युत्क्रम क्यों नहीं है? क्योंकि इसका सारणिक शून्य है — इसकी पंक्तियाँ या स्तंभ रैखिक रूप से परस्पर निर्भर हैं, इसलिए यह आव्यूह सिंगुलर (अव्युत्क्रमणीय) है।

क्या व्युत्क्रम हमेशा मौजूद रहता है? नहीं। केवल उन्हीं वर्ग आव्यूहों का व्युत्क्रम होता है जिनका सारणिक शून्य न हो।

मैं परिणाम कैसे जाँचूँ? मूल आव्यूह को निकाले गए व्युत्क्रम से गुणा करें; आपको तत्समक आव्यूह मिलना चाहिए (विकर्ण पर 1 और बाकी जगह 0)।