डबल एंगल फॉर्मूला कैलकुलेटर क्या है?
यह टूल किसी भी कोण θ के लिए त्रिकोणमितीय डबल-एंगल सर्वसमिकाओं की गणना करता है। बस कोई कोण डिग्री या रेडियन में डालिए, और यह एक ही बार में \(\sin(2\theta)\), \(\cos(2\theta)\) तथा \(\tan(2\theta)\) लौटा देता है। ये सर्वसमिकाएँ किसी दुगुने कोण के फलन को एकल कोण के फलनों के रूप में व्यक्त करती हैं, जो व्यंजकों को सरल करने, त्रिकोणमितीय समीकरण हल करने और समाकलन (इंटीग्रेशन) में बेहद उपयोगी है।
इसका उपयोग कैसे करें
अपना कोण θ टाइप कीजिए, चुनिए कि वह डिग्री में है या रेडियन में, और तीनों परिणाम पढ़ लीजिए। त्रिकोणमितीय फलन लगाने से पहले डिग्री को अंदर ही अंदर रेडियन में बदल दिया जाता है (\(\pi/180\) से गुणा करके)।
फॉर्मूले विस्तार से
साइन सर्वसमिका है $$\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$$ कोसाइन सर्वसमिका है $$\cos(2\theta) = \cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta$$ (जो \(2\cos^{2}\theta - 1\) या \(1 - 2\sin^{2}\theta\) के बराबर है)। टैंजेंट सर्वसमिका है $$\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1-\tan^{2}\theta}$$ जहाँ भी \(\cos(2\theta) = 0\) होता है (जैसे θ = 45°, जहाँ \(1 - \tan^{2}\theta = 0\)), वहाँ टैंजेंट रूप अपरिभाषित होता है, इसलिए कैलकुलेटर ऐसे मामलों को "अपरिभाषित" दर्शाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
θ = 30° के लिए: \(\sin\theta = 0.5\), \(\cos\theta = 0.8660\)। तब $$\sin(2\theta) = 2(0.5)(0.8660) = 0.8660$$ जो \(\sin(60°)\) के बराबर है। $$\cos(2\theta) = 0.8660^{2} - 0.5^{2} = 0.75 - 0.25 = 0.5 = \cos(60°)$$ $$\tan(2\theta) = \frac{\sin(60°)}{\cos(60°)} \approx 1.7320$$
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
\(\tan(2\theta)\) "अपरिभाषित" क्यों दिखाता है? क्योंकि \(\tan\) वहाँ अपरिभाषित होता है जहाँ उसका कोण 90° (\(\pi/2\)) और उसमें 180° के गुणजों के बराबर पहुँचता है। θ = 45° पर 2θ = 90° हो जाता है और \(\cos(2\theta) = 0\) हो जाता है, इसलिए अनुपात का हर शून्य हो जाता है।
क्या मैं रेडियन इस्तेमाल कर सकता हूँ? हाँ, रेडियन वाला विकल्प चुनिए; तब कोई रूपांतरण नहीं किया जाता।
क्या परिणाम दोहराते हैं? हाँ, त्रिकोणमितीय फलन आवर्ती (पीरियॉडिक) होते हैं, इसलिए पूरे चक्करों के अंतर वाले कोण समान परिणाम देते हैं।
