역행렬 계산기란?
이 도구는 정사각 행렬(2×2 또는 3×3)의 역행렬을 계산합니다. 행렬 A의 역행렬은 A⁻¹로 표기하며, \(A \cdot A^{-1} = I\)를 만족하는 행렬입니다. 여기서 I는 단위행렬입니다. 역행렬은 행렬식이 0이 아닐 때만 존재하며, 행렬식이 0이면 그 행렬은 특이행렬(singular matrix)이라고 부르고 역행렬을 가질 수 없습니다.
사용 방법
행렬 크기(2×2 또는 3×3)를 선택한 뒤 각 칸에 원소를 입력하면, 계산기가 행렬식과 완전한 역행렬을 보여줍니다. 2×2 행렬의 경우 좌측 상단의 네 칸(a11, a12, a21, a22)만 사용됩니다. 행렬식이 0이면 해당 행렬에 역행렬이 없다는 것을 알려 줍니다.
공식 풀이
일반적인 방법은 수반행렬(adjugate)을 이용합니다:
$$A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}(A)$$수반행렬은 여인수 행렬(cofactor matrix)의 전치행렬입니다. 2×2 행렬 [[a, b], [c, d]]의 경우 이 공식은 다음과 같이 간단해집니다:
$$A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{bmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{bmatrix}, \quad \det A = a_{11}\,a_{22} - a_{12}\,a_{21}$$3×3 행렬에서는 9개의 여인수를 계산하고, 이를 전치한 뒤 각 원소를 행렬식으로 나눠 줍니다.
$$\det A = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31})$$
예제 풀이
A = [[4, 7], [2, 6]]을 예로 들어 봅시다. 행렬식은 다음과 같습니다:
$$(4 \cdot 6) - (7 \cdot 2) = 24 - 14 = 10$$역행렬은 다음과 같이 됩니다:
$$\frac{1}{10} \cdot \begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.6 & -0.7 \\ -0.2 & 0.4 \end{bmatrix}$$\(A \cdot A^{-1}\)을 계산하면 단위행렬이 나오는지 확인할 수 있습니다.
자주 묻는 질문
왜 제 행렬에는 역행렬이 없나요? 행렬식이 0이기 때문입니다. 행 또는 열이 선형 종속이어서 그 행렬은 특이행렬이 됩니다.
역행렬은 항상 존재하나요? 아닙니다. 행렬식이 0이 아닌 정사각 행렬만 역행렬을 가질 수 있습니다.
결과가 맞는지 어떻게 확인하나요? 원래 행렬에 계산된 역행렬을 곱해 보세요. 단위행렬(대각선은 1, 나머지는 0)이 나와야 합니다.
