2×2 역행렬이란?
정방행렬 A의 역행렬은 \(A^{-1}\)로 표기하며, \(A \cdot A^{-1} = I\)(I는 단위행렬)를 만족하는 행렬입니다. 2×2 행렬이라면 간단한 공식 하나로 역행렬을 구할 수 있습니다. 이 계산기는 행렬식과 역행렬의 모든 원소를 즉시 계산해 주고, 역행렬이 존재하지 않는 경우에는 그 사실까지 알려줍니다.
사용 방법
행렬의 네 원소를 입력하세요. 윗줄에는 a와 b를, 아랫줄에는 c와 d를 넣으면 됩니다. 계산기는 먼저 행렬식 \(ad - bc\)를 구합니다. 이 값이 0이 아니면 완전한 역행렬을 보여 주고, 0이면 해당 행렬을 특이행렬(역행렬 없음)로 표시합니다.
공식 설명
행렬 \(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\)에서 행렬식은 다음과 같습니다.
$$\det(A) = ad - bc$$역행렬은 다음과 같이 구합니다.
$$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$말로 풀면, a와 d의 위치를 서로 바꾸고, b와 c의 부호를 반대로 한 뒤, 모든 원소를 행렬식으로 나누는 것이죠. \(\det = 0\)이면 나눗셈이 정의되지 않으므로 역행렬은 존재하지 않습니다.
예제로 풀어 보기
\(A = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}\)를 생각해 봅시다. 행렬식은 다음과 같습니다.
$$(4 \cdot 6) - (7 \cdot 2) = 24 - 14 = 10$$따라서 다음이 됩니다.
$$A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.6 & -0.7 \\ -0.2 & 0.4 \end{bmatrix}$$\(A \cdot A^{-1}\)를 직접 곱해 단위행렬이 나오는지 확인하면 검산할 수 있습니다.
더 많은 풀이 예제
2×2 행렬 \(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\)에 대해, 역행렬은 \(A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\)이며, 행렬식 \(ad-bc \neq 0\)일 때만 유효합니다.
예제 1 — 음수 항목이 있는 행렬
\(A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}\)이므로, \(a=2,\ b=-3,\ c=4,\ d=-1\)입니다.
- 행렬식: \(ad - bc = (2)(-1) - (-3)(4) = -2 + 12 = \)10.
- \(a\)와 \(d\)를 바꾸고, \(b\)와 \(c\)를 음수로: \(\begin{bmatrix} -1 & 3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}\).
- 행렬식으로 나누기: \(A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{bmatrix} -1 & 3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0.1 & 0.3 \\ -0.4 & 0.2 \end{bmatrix}\).
확인: \(A\,A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\), 항등 행렬입니다.
예제 2 — 특이 행렬 (역행렬 없음)
\(A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\)이므로, \(a=2,\ b=4,\ c=1,\ d=2\)입니다.
- 행렬식: \(ad - bc = (2)(2) - (4)(1) = 4 - 4 = \)0.
- 행렬식이 \(0\)이므로, \(\frac{1}{ad-bc}\) 인수는 정의되지 않습니다 (0으로 나누기).
- 따라서 \(A\)는 특이이며 역행렬이 없습니다. 여기서 두 번째 행 \((1,2)\)는 정확히 첫 번째 행 \((2,4)\)의 절반이므로, 행들은 선형 종속입니다.
예제 3 — 깔끔한 분수 항목
\(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)이므로, \(a=1,\ b=2,\ c=3,\ d=4\)입니다.
- 행렬식: \(ad - bc = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2\).
- 수반 행렬 구성: \(\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}\).
- \(-2\)로 나누기: \(A^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{bmatrix}\).
\(A\)와 \(A^{-1}\)을 곱해서 검증할 수 있습니다. 결과는 항등 행렬이어야 합니다.
핵심 용어 설명
- 행렬식
- 행렬에서 계산된 단일 스칼라 값입니다. 2×2 행렬의 경우 \(ad - bc\)와 같습니다. 행렬이 넓이를 얼마나 확대하는지를 측정하며, 역행렬이 존재하는지를 나타냅니다: 역행렬은 행렬식이 0이 아닐 때만 존재합니다.
- 특이 행렬
- 행렬식이 \(0\)인 정사각 행렬입니다. 특이 행렬은 행렬식으로 나누어야 하는 공식이 있으므로 역행렬이 없습니다. 그 행(과 열)들은 선형 종속입니다.
- 가역 / 비특이 행렬
- 0이 아닌 행렬식을 가진 정사각 행렬입니다. \(A\,A^{-1} = A^{-1}A = I\)를 만족하는 유일한 역행렬 \(A^{-1}\)을 가집니다. "가역"과 "비특이"는 같은 의미입니다.
- 항등 행렬
- 주 대각선에 \(1\)이, 그 밖의 곳에 \(0\)이 있는 정사각 행렬이며, 2×2 경우에 \(I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)로 기록됩니다. 임의의 행렬에 \(I\)를 곱하면 변하지 않으며, \(A\,A^{-1}=I\)입니다.
- 역행렬 \((A^{-1})\)
- \(A\)를 "되돌리는" 행렬: \(A\,A^{-1} = I\)를 만족하는 유일한 행렬입니다. 2×2 행렬의 경우, \(a\)와 \(d\)를 바꾸고, \(b\)와 \(c\)를 음수로 한 다음, 모든 항목을 행렬식으로 나누면 구합니다.
- 항목 \(a, b, c, d\)
- 행렬 \(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\)의 네 개 숫자: \(a\)는 좌상단 (행 1, 열 1), \(b\)는 우상단 (행 1, 열 2), \(c\)는 좌하단 (행 2, 열 1), 그리고 \(d\)는 우하단 (행 2, 열 2)입니다. \(a\)와 \(d\)는 주 대각선을 이룹니다.
자주 묻는 질문
2×2 행렬에 역행렬이 없는 경우는 언제인가요? 행렬식 \(ad - bc\)가 0일 때입니다. 이런 행렬을 특이행렬이라고 부릅니다.
역행렬에 소수가 나올 수도 있나요? 네. 행렬식으로 나누다 보면 분수나 소수 형태의 원소가 자주 생깁니다.
답이 맞는지 어떻게 확인하나요? 원래 행렬과 계산된 역행렬을 곱해 보세요. 결과가 2×2 단위행렬 \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)이면 정답입니다.
