2×2 고유값 계산기란?
정사각행렬 A의 고유값(eigenvalue)이란, 어떤 0이 아닌 벡터 v에 대해 \(Av = \lambda v\)를 만족시키는 스칼라 \(\lambda\)를 말합니다. 이 계산기는 임의의 2×2 행렬 \(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\)에 대해 두 개의 고유값을 모두 구해 주며, 고유값이 실수인 경우는 물론 복소 켤레쌍을 이루는 경우까지 처리합니다.
사용 방법
행렬의 네 성분을 입력하세요. 첫째 행에 a와 b, 둘째 행에 c와 d를 넣으면 됩니다. 계산기는 대각합(trace), 행렬식(determinant), 판별식(discriminant)을 차례로 계산한 뒤 두 고유값을 반환합니다. 판별식이 음수이면 결과는 복소 켤레쌍 \(x \pm yi\) 형태로 표시됩니다.
공식 풀이
고유값은 특성방정식 \(\det(A - \lambda I) = 0\)의 해입니다. 2×2 행렬에서는 이 식이 \(\lambda^2 - (\text{tr})\lambda + \det = 0\)으로 전개되며, 여기서 대각합 \(\text{tr} = a + d\), 행렬식 \(\det = ad - bc\) 입니다. 근의 공식을 적용하면
$$\lambda = \frac{\text{tr} \pm \sqrt{\text{tr}^2 - 4\cdot\det}}{2}$$가 됩니다. 근호 안의 값 \(\text{tr}^2 - 4\cdot\det\)가 바로 판별식인데, 이 값이 양수이면 서로 다른 두 실수 고유값, 0이면 중복된 실수 고유값, 음수이면 복소 켤레쌍이 됩니다.
예제 풀이
\(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\)인 경우: \(\text{tr} = 4\), \(\det = 2\cdot 2 - 1\cdot 1 = 3\), 판별식 \(= 16 - 12 = 4\) 입니다. 따라서
$$\lambda = \frac{4 \pm 2}{2}$$가 되어 \(\lambda_1 = 3\), \(\lambda_2 = 1\)을 얻습니다.
자주 묻는 질문
판별식이 음수이면 어떻게 되나요? 이때는 실수 고유값이 존재하지 않으며, 계산기는 복소 켤레쌍 \(\frac{\text{tr}}{2} \pm \frac{\sqrt{-\text{disc}}}{2}i\) 를 반환합니다.
두 고유값이 같을 수도 있나요? 네. 판별식이 정확히 0일 때 두 고유값은 모두 \(\text{tr}/2\)와 같아집니다(중근, 즉 중복 고유값).
고유값은 무엇을 알려 주나요? 고유값은 선형변환 A가 고유벡터 방향으로 공간을 얼마나 늘리거나 줄이는지를 나타냅니다. 안정성 분석, 주성분분석(PCA), 미분방정식 등에서 핵심적인 역할을 합니다.
