Qu'est-ce que le calculateur de valeurs propres 2×2 ?
Une valeur propre d'une matrice carrée A est un scalaire \(\lambda\) pour lequel il existe un vecteur non nul v vérifiant \(Av = \lambda v\). Ce calculateur détermine les deux valeurs propres de n'importe quelle matrice 2×2 A = [[a, b], [c, d]], qu'elles soient réelles ou qu'elles forment une paire de complexes conjugués.
Comment l'utiliser
Saisissez les quatre coefficients de votre matrice : a et b sur la première ligne, c et d sur la deuxième ligne. Le calculateur évalue la trace, le déterminant et le discriminant, puis renvoie les deux valeurs propres. Si le discriminant est négatif, le résultat s'affiche sous la forme d'une paire de complexes conjugués \(x \pm yi\).
La formule expliquée
Les valeurs propres sont les solutions de l'équation caractéristique \(\det(A - \lambda I) = 0\), qui, pour une matrice 2×2, se développe en \(\lambda^2 - (\text{tr})\lambda + \det = 0\), où la trace \(\text{tr} = a + d\) et le déterminant \(\det = ad - bc\). La formule du second degré donne alors $$\lambda = \frac{\text{tr} \pm \sqrt{\text{tr}^2 - 4\cdot\det}}{2}.$$ La quantité sous la racine, \(\text{tr}^2 - 4\cdot\det\), est le discriminant : lorsqu'il est positif, les valeurs propres sont des réels distincts ; lorsqu'il est nul, il s'agit d'une valeur propre réelle double ; et lorsqu'il est négatif, ce sont des complexes conjugués.
Exemple détaillé
Pour A = [[2, 1], [1, 2]] : \(\text{tr} = 4\), \(\det = 2\cdot 2 - 1\cdot 1 = 3\), \(\text{discriminant} = 16 - 12 = 4\). Donc $$\lambda = \frac{4 \pm 2}{2},$$ ce qui donne \(\lambda_1 = 3\) et \(\lambda_2 = 1\).
FAQ
Que se passe-t-il si le discriminant est négatif ? La matrice n'a pas de valeurs propres réelles ; le calculateur renvoie la paire de complexes conjugués \(\frac{\text{tr}}{2} \pm \frac{\sqrt{-\text{disc}}}{2}i\).
Les valeurs propres peuvent-elles être égales ? Oui. Lorsque le discriminant est exactement nul, les deux valeurs propres valent \(\text{tr}/2\) (valeur propre double).
Que m'apprennent les valeurs propres ? Elles décrivent comment la transformation linéaire A dilate l'espace le long des directions de ses vecteurs propres. Elles sont essentielles en analyse de stabilité, en ACP (analyse en composantes principales) et dans les équations différentielles.
