Что такое калькулятор собственных значений матрицы 2×2?
Собственное значение квадратной матрицы A — это скаляр \(\lambda\), для которого существует ненулевой вектор v, удовлетворяющий равенству \(Av = \lambda v\). Этот калькулятор находит оба собственных значения любой матрицы 2×2 вида A = [[a, b], [c, d]], корректно обрабатывая как случай действительных значений, так и случай, когда они образуют комплексно-сопряжённую пару.
Как пользоваться калькулятором
Введите четыре элемента вашей матрицы: a и b в первой строке, c и d — во второй. Калькулятор вычислит след, определитель и дискриминант, а затем выдаст два собственных значения. Если дискриминант отрицателен, результат отображается в виде комплексно-сопряжённой пары \(x \pm yi\).
Разбор формулы
Собственные значения являются корнями характеристического уравнения \(\det(A - \lambda I) = 0\), которое для матрицы 2×2 раскрывается в \(\lambda^2 - (\text{tr})\lambda + \det = 0\), где след \(\text{tr} = a + d\), а определитель \(\det = ad - bc\). Применяя формулу для корней квадратного уравнения, получаем
$$\lambda = \frac{\text{tr} \pm \sqrt{\text{tr}^2 - 4\cdot\det}}{2}$$Подкоренное выражение \(\text{tr}^2 - 4\cdot\det\) — это дискриминант: если он положителен, собственные значения — два различных действительных числа; если равен нулю — это кратное действительное значение; если отрицателен — это комплексно-сопряжённая пара.
Разбор примера
Для A = [[2, 1], [1, 2]]: \(\text{tr} = 4\), \(\det = 2\cdot 2 - 1\cdot 1 = 3\), дискриминант \(= 16 - 12 = 4\). Тогда
$$\lambda = \frac{4 \pm 2}{2}$$что даёт \(\lambda_1 = 3\) и \(\lambda_2 = 1\).
Часто задаваемые вопросы
Что делать, если дискриминант отрицателен? У матрицы нет действительных собственных значений; калькулятор возвращает комплексно-сопряжённую пару \(\frac{\text{tr}}{2} \pm \frac{\sqrt{-\text{disc}}}{2}i\).
Могут ли собственные значения совпадать? Да. Когда дискриминант в точности равен нулю, оба собственных значения равны \(\text{tr}/2\) (кратное собственное значение).
О чём говорят собственные значения? Они показывают, как линейное преобразование A растягивает пространство вдоль направлений своих собственных векторов, и играют ключевую роль в анализе устойчивости, методе главных компонент (PCA) и дифференциальных уравнениях.
