2x2 आइगेनवैल्यू कैलकुलेटर क्या है?
किसी वर्ग मैट्रिक्स A का आइगेनवैल्यू एक अदिश राशि (scalar) \(\lambda\) होता है जिसके लिए कोई अशून्य सदिश v इस तरह मौजूद हो कि \(Av = \lambda v\) हो। यह कैलकुलेटर किसी भी 2x2 मैट्रिक्स \(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) के दोनों आइगेनवैल्यू निकालता है — चाहे वे वास्तविक संख्याएँ हों या फिर सम्मिश्र संयुग्म युग्म (complex conjugate pair) बनाते हों।
इसका उपयोग कैसे करें
अपने मैट्रिक्स की चारों संख्याएँ दर्ज करें: पहली पंक्ति में a और b, दूसरी पंक्ति में c और d। कैलकुलेटर ट्रेस, डिटरमिनेंट और विविक्तकर (discriminant) की गणना करके दोनों आइगेनवैल्यू लौटाता है। यदि विविक्तकर ऋणात्मक हो, तो परिणाम सम्मिश्र संयुग्म युग्म \(x \pm yi\) के रूप में दिखाया जाता है।
सूत्र की व्याख्या
आइगेनवैल्यू कैरेक्टरिस्टिक समीकरण \(\det(A - \lambda I) = 0\) को हल करते हैं, जो 2x2 मैट्रिक्स के लिए \(\lambda^2 - (\text{tr})\lambda + \det = 0\) बन जाता है, जहाँ ट्रेस \(\text{tr} = a + d\) और डिटरमिनेंट \(\det = ad - bc\) होता है। द्विघात सूत्र लगाने पर मिलता है $$\lambda = \frac{\text{tr} \pm \sqrt{\text{tr}^2 - 4 \cdot \det}}{2}$$ मूल के अंदर की राशि, \(\text{tr}^2 - 4 \cdot \det\), विविक्तकर कहलाती है: यह धनात्मक होने पर आइगेनवैल्यू अलग-अलग वास्तविक संख्याएँ होते हैं, शून्य होने पर एक ही वास्तविक मान दोहराया जाता है, और ऋणात्मक होने पर वे सम्मिश्र संयुग्म होते हैं।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लें \(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\): \(\text{tr} = 4\), \(\det = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 3\), विविक्तकर \(= 16 - 12 = 4\)। तो \(\lambda = (4 \pm 2)/2\), यानी \(\lambda_1 = 3\) और \(\lambda_2 = 1\)।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
अगर विविक्तकर ऋणात्मक हो तो? तब मैट्रिक्स का कोई वास्तविक आइगेनवैल्यू नहीं होता; कैलकुलेटर सम्मिश्र संयुग्म युग्म \((\text{tr}/2) \pm (\sqrt{-\text{disc}}/2)i\) लौटाता है।
क्या दोनों आइगेनवैल्यू बराबर हो सकते हैं? हाँ। जब विविक्तकर ठीक शून्य होता है, तो दोनों आइगेनवैल्यू \(\text{tr}/2\) के बराबर होते हैं (दोहराया हुआ आइगेनवैल्यू)।
आइगेनवैल्यू मुझे क्या बताते हैं? ये बताते हैं कि रैखिक रूपांतरण A अपने आइगेनवेक्टर की दिशाओं में स्थान (space) को कितना खींचता या सिकोड़ता है। ये स्थिरता विश्लेषण (stability analysis), PCA और अवकल समीकरणों (differential equations) के लिए बेहद अहम होते हैं।
