2x2 आइगेनवैल्यू कैलकुलेटर क्या है?
यह टूल किसी 2×2 मैट्रिक्स [[a, b], [c, d]] के आइगेनवैल्यू निकालता है। आइगेनवैल्यू वे अदिश राशियाँ \(\lambda\) होती हैं जिनके लिए कोई शून्येतर सदिश v मौजूद हो ताकि \(Av = \lambda v\) सत्य हो। ये बताते हैं कि कोई रैखिक रूपांतरण समष्टि को किस प्रकार खींचता, सिकोड़ता या घुमाता है। यही कारण है कि आइगेनवैल्यू भौतिकी, इंजीनियरिंग, सांख्यिकी और अवकल समीकरणों में हर जगह दिखाई देते हैं।
इसका उपयोग कैसे करें
मैट्रिक्स की चारों प्रविष्टियाँ भरें: पहली पंक्ति में a और b, दूसरी पंक्ति में c और d। कैलकुलेटर दोनों आइगेनवैल्यू लौटाता है। यदि वे वास्तविक हुए तो आपको दो वास्तविक संख्याएँ मिलेंगी; और यदि विविक्तकर (discriminant) ऋणात्मक हुआ तो आपको \(p \pm qi\) के रूप में एक सम्मिश्र संयुग्मी युग्म मिलेगा। साथ ही ट्रेस, डिटरमिनेंट और विविक्तकर भी दिखाए जाते हैं ताकि आप अपनी गणना जाँच सकें।
सूत्र की व्याख्या
आइगेनवैल्यू दरअसल अभिलक्षणिक बहुपद \(\det(A - \lambda I) = 0\) के मूल होते हैं, जो 2×2 मैट्रिक्स के लिए सरल होकर \(\lambda^{2} - (\text{tr})\lambda + \det = 0\) बन जाता है, जहाँ ट्रेस \(\text{tr} = a + d\) और डिटरमिनेंट \(\det = ad - bc\) होता है। द्विघात सूत्र से हल करने पर निम्नलिखित मिलता है:
$$\lambda = \frac{\text{tr} \pm \sqrt{\text{tr}^{2} - 4\cdot\det}}{2}$$मूल चिह्न के नीचे की राशि \(\text{tr}^{2} - 4\cdot\det\) ही विविक्तकर है: धनात्मक होने पर दो भिन्न वास्तविक आइगेनवैल्यू, शून्य होने पर एक पुनरावृत्त वास्तविक आइगेनवैल्यू, और ऋणात्मक होने पर एक सम्मिश्र संयुग्मी युग्म मिलता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मैट्रिक्स [[2, 1], [1, 2]] के लिए:
$$\text{tr} = 2 + 2 = 4, \quad \det = 2\cdot 2 - 1\cdot 1 = 3$$$$\text{विविक्तकर} = 16 - 12 = 4, \quad \sqrt{4} = 2$$इसलिए \(\lambda_1 = (4 + 2)/2 = 3\) और \(\lambda_2 = (4 - 2)/2 = 1\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यदि आइगेनवैल्यू सम्मिश्र हों तो क्या होगा? ऋणात्मक विविक्तकर से एक संयुग्मी युग्म \(\text{tr}/2 \pm (\sqrt{4\cdot\det - \text{tr}^{2}}/2)\cdot i\) प्राप्त होता है। घूर्णन मैट्रिक्स [[0, −1], [1, 0]] का ट्रेस 0 और डिटरमिनेंट 1 होता है, जिससे \(\lambda = \pm i\) मिलता है।
क्या दोनों आइगेनवैल्यू बराबर हो सकते हैं? हाँ — जब विविक्तकर ठीक शून्य हो, तब मैट्रिक्स में एक पुनरावृत्त आइगेनवैल्यू \(\text{tr}/2\) होता है।
आइगेनवैल्यू का ट्रेस और डिटरमिनेंट से क्या संबंध है? इनका योग ट्रेस के बराबर होता है और इनका गुणनफल डिटरमिनेंट के बराबर होता है।
