ما هي حاسبة القيم الذاتية لمصفوفة 2×2؟
تتيح لك هذه الأداة إيجاد القيم الذاتية لأي مصفوفة من المرتبة 2×2 على الصورة [[a, b], [c, d]]. والقيمة الذاتية هي العدد العددي \(\lambda\) الذي يوجد عنده متجه غير صفري \(v\) بحيث يتحقق \(Av = \lambda v\). تكشف هذه القيم عن طريقة تمدّد التحويل الخطي للفضاء أو انكماشه أو دورانه، وهي حاضرة بقوة في الفيزياء والهندسة والإحصاء والمعادلات التفاضلية.
كيفية الاستخدام
أدخل عناصر المصفوفة الأربعة: a وb في الصف الأول، وc وd في الصف الثاني. ستعرض لك الحاسبة كلتا القيمتين الذاتيتين. فإن كانتا حقيقيتين حصلت على عددين حقيقيين، وإن كان المميِّز سالبًا حصلت على زوج مركّب مترافق يُكتب على الصورة \(p \pm qi\). كما تُعرض قيم الأثر والمحدد والمميِّز حتى تتمكن من مراجعة الحساب والتأكد منه.
شرح القانون
القيم الذاتية هي جذور كثير الحدود المميِّز \(\det(A - \lambda I) = 0\)، والذي يُختصر في حالة المصفوفة 2×2 إلى \(\lambda^2 - (\text{tr})\lambda + \det = 0\)، حيث الأثر \(\text{tr} = a + d\) والمحدد \(\det = ad - bc\). وبحل المعادلة باستخدام القانون العام للمعادلة التربيعية نحصل على
$$\lambda = \frac{\text{tr} \pm \sqrt{\text{tr}^2 - 4\cdot\det}}{2}$$أما المقدار الواقع تحت الجذر، أي \(\text{tr}^2 - 4\cdot\det\)، فهو المميِّز: إذا كان موجبًا فهناك قيمتان ذاتيتان حقيقيتان مختلفتان، وإذا كان صفرًا فهناك قيمة ذاتية حقيقية مكرّرة، وإذا كان سالبًا فالنتيجة زوج مركّب مترافق.
مثال محلول
لنأخذ المصفوفة [[2, 1], [1, 2]]: الأثر \(\text{tr} = 2 + 2 = 4\)، والمحدد \(\det = 2\cdot 2 - 1\cdot 1 = 3\)، والمميِّز \(= 16 - 12 = 4\)، و\(\sqrt{4} = 2\). ومن ثَمّ
$$\lambda_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \qquad \lambda_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1$$الأسئلة الشائعة
ماذا لو كانت القيم الذاتية مركّبة؟ إذا كان المميِّز سالبًا نحصل على زوج مترافق على الصورة \(\frac{\text{tr}}{2} \pm \frac{\sqrt{4\cdot\det - \text{tr}^2}}{2}\,i\). فمثلًا مصفوفة الدوران [[0, −1], [1, 0]] لها أثر يساوي 0 ومحدد يساوي 1، فتكون قيمها الذاتية \(\lambda = \pm i\).
هل يمكن أن تتساوى القيمتان الذاتيتان؟ نعم؛ فعندما يكون المميِّز مساويًا للصفر تمامًا، يكون للمصفوفة قيمة ذاتية واحدة مكرّرة قيمتها \(\frac{\text{tr}}{2}\).
ما العلاقة بين القيم الذاتية والأثر والمحدد؟ مجموع القيمتين الذاتيتين يساوي الأثر، وحاصل ضربهما يساوي المحدد.
