¿Qué es la calculadora de valores propios 2x2?
Esta herramienta calcula los valores propios (o autovalores) de una matriz 2×2 \([[a, b], [c, d]]\). Los valores propios son los escalares \(\lambda\) para los que existe un vector no nulo \(v\) que cumple \(Av = \lambda v\). Nos indican cómo una transformación lineal estira, comprime o rota el espacio, y aparecen por todas partes en física, ingeniería, estadística y ecuaciones diferenciales.
Cómo usarla
Introduce los cuatro elementos de la matriz: \(a\) y \(b\) en la primera fila, \(c\) y \(d\) en la segunda. La calculadora devuelve ambos valores propios. Si son reales, obtendrás dos números reales; si el discriminante es negativo, obtendrás un par de complejos conjugados expresados como \(p \pm qi\). También se muestran la traza, el determinante y el discriminante para que puedas comprobar el resultado.
La fórmula explicada
Los valores propios son las raíces del polinomio característico \(\det(A - \lambda I) = 0\), que para una matriz 2×2 se simplifica a \(\lambda^{2} - (\text{tr})\lambda + \det = 0\), donde la traza es \(\text{tr} = a + d\) y el determinante es \(\det = ad - bc\). Al resolver con la fórmula cuadrática se obtiene $$\lambda = \frac{\text{tr} \pm \sqrt{\text{tr}^{2} - 4\cdot\det}}{2}$$ La cantidad bajo la raíz, \(\text{tr}^{2} - 4\cdot\det\), es el discriminante: si es positivo hay dos valores propios reales distintos, si es cero hay un valor propio real doble, y si es negativo se obtiene un par de complejos conjugados.
Ejemplo resuelto
Para \([[2, 1], [1, 2]]\): \(\text{tr} = 2 + 2 = 4\), \(\det = 2\cdot 2 - 1\cdot 1 = 3\), discriminante \(= 16 - 12 = 4\), \(\sqrt{4} = 2\). Así, $$\lambda_{1} = \frac{4 + 2}{2} = 3 \qquad \lambda_{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1$$
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre si los valores propios son complejos? Un discriminante negativo da un par conjugado \(\frac{\text{tr}}{2} \pm \frac{\sqrt{4\cdot\det - \text{tr}^{2}}}{2}\cdot i\). La matriz de rotación \([[0, -1], [1, 0]]\) tiene traza 0 y determinante 1, lo que da \(\lambda = \pm i\).
¿Pueden ser iguales los dos valores propios? Sí: cuando el discriminante es exactamente cero, la matriz tiene un único valor propio doble igual a \(\text{tr}/2\).
¿Cómo se relacionan los valores propios con la traza y el determinante? Su suma es igual a la traza y su producto es igual al determinante.
