Что такое калькулятор собственных значений матрицы 2×2?
Этот инструмент находит собственные значения матрицы 2×2 вида [[a, b], [c, d]]. Собственные значения — это скаляры λ, для которых существует ненулевой вектор v, удовлетворяющий равенству \(Av = \lambda v\). Они показывают, как линейное преобразование растягивает, сжимает или поворачивает пространство, и встречаются повсюду — в физике, инженерных расчётах, статистике и дифференциальных уравнениях.
Как пользоваться калькулятором
Введите четыре элемента матрицы: a и b в первой строке, c и d во второй. Калькулятор вернёт оба собственных значения. Если они вещественные, вы получите два действительных числа; если дискриминант отрицателен — комплексно-сопряжённую пару в виде \(p \pm qi\). След, определитель и дискриминант выводятся отдельно, чтобы можно было проверить вычисления.
Разбор формулы
Собственные значения — это корни характеристического многочлена \(\det(A - \lambda I) = 0\), который для матрицы 2×2 сводится к уравнению \(\lambda^2 - (\text{tr})\lambda + \det = 0\), где след \(\text{tr} = a + d\), а определитель \(\det = ad - bc\). Решая его по формуле для квадратного уравнения, получаем $$\lambda = \frac{\text{tr} \pm \sqrt{\text{tr}^2 - 4\cdot\det}}{2}$$ Выражение под корнем, \(\text{tr}^2 - 4\cdot\det\), называется дискриминантом: при положительном значении получаются два различных вещественных собственных значения, при нуле — одно кратное вещественное, а при отрицательном — комплексно-сопряжённая пара.
Разбор примера
Для матрицы [[2, 1], [1, 2]]: \(\text{tr} = 2 + 2 = 4\), \(\det = 2\cdot 2 - 1\cdot 1 = 3\), дискриминант \(= 16 - 12 = 4\), \(\sqrt{4} = 2\). Тогда $$\lambda_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \quad\text{и}\quad \lambda_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1$$
Частые вопросы
Что делать, если собственные значения комплексные? При отрицательном дискриминанте получается сопряжённая пара \(\tfrac{\text{tr}}{2} \pm \tfrac{\sqrt{4\cdot\det - \text{tr}^2}}{2}\,i\). Например, матрица поворота [[0, −1], [1, 0]] имеет след 0 и определитель 1, что даёт \(\lambda = \pm i\).
Могут ли оба собственных значения совпадать? Да — когда дискриминант равен ровно нулю, матрица имеет одно кратное собственное значение \(\tfrac{\text{tr}}{2}\).
Как собственные значения связаны со следом и определителем? Их сумма равна следу, а произведение — определителю.
